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数学史选讲的新课标要求：通过生动、丰富的事例，了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。教师应鼓励学生对数学发展的历史轨迹、自己感兴趣的历史事件与人物，写自己的研究报告。为此，结合新课程内容，我简要总结了中国数学史的发展过程，主要分为以下七个阶段： 第一时期：中国数学的萌芽（远古～春秋） 古希腊学者毕达哥拉斯有这样一句名言：“凡物皆数”。在7000年以前，我们的祖先甚至连2以上的数字还数不上来，在逐步摸索中，先是结绳记数，然后又发展到“书契”，五六千年前就会写1~30的数字，到了2000多年前的春秋时代，祖先们不但能写3000以上的数学，还有了加法和乘法的意识。《周髀算经》是周代传下来有关测量的理论和方法，其中就有中国最早的勾股定理。 春秋时代，诸子百家中的墨家的思想《墨经》中的几何学与逻辑、无限分割思想，体现出理性思维。孔子修改过的古典书籍之一《周易》中含有组合学知识，坐标系思想，二进制思想，还出现了八卦，这神奇的八卦至今在中国和外国仍然是人们努力研究和对象，它在数学、天文、物理等多方面都发挥着不可低估和作用。 第二时期： 中国古代数学框架的形成（战国～秦汉） 到了战国时期，在算术、几何，甚至在现代应用数学的领域，都开始了耕耘播种。算术领域，四则运算在这一时期内得到了确立，乘法中诀已经在《管子》、《荀子》、《周逸书》等著作中零散出现，分数计算也开始被应用于种植土地、分配粮食等方面。几何领域，出现了勾股定理。代数领域，出现了负数概念的萌芽。 秦汉时期在算术方面乘除法算例明显增多，还出现了多步乘除法和趋于完整的九九乘法中诀。在几何方面，对于长方形面积的计算以及体积计算的知识也具备了。 《九章算术》集先秦到西汉数学知识之大成，确定了中国古代数学的框架、内容、形式、风格和思想方法的特点。全书有90余条抽象性算法、公使，246道例题及其解法，基本上采用算法统率应用题的形式，包括丰富的算术、代数和几何。从体系方面，归纳的，开放的，以计算为中心的算法体系，体现实用性，如“出南北门求邑方”。 第三时期：数学理论的奠基（魏晋～唐初） 在这一时期，数学教育的正规化和数学人才辈出，为数学理论奠定了基础。 赵爽，三国时代吴国人，全面注《周髀算经》，其中的“勾股圆方图注”是对勾股定理的最早证明。 刘徽，三国时代魏国人，是中国古代最伟大的数学家之一。他为《九章算术》做注，《九章算术注》集中了秦汉以来的创造发明，把中国古代数学提高到了一个新的水平，奠定了中国数学教育体系的坚实的基础．其中主要成果：（1）求得圆周率为157/50，（2）出入相补法，棋验法，齐同原理等;(3)数学概念的严格定义．例如幂，率，方程，正负数等；（4）割圆术，反映了数学的极限思想．（5）“重差”之法．他认为数学方法起源于空间形式和数量关系的统一，这正反映了中国古算的特色——几何与算术、代数的统一．他认为数学方法起源于空间形式和数量关系的统一，这正反映了中国古算的特色——几何与算术、代数的统一． 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践。他在数学上的杰出成就是关于圆周率的计算。祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算．他们当时采用的一条原理是："幂势既同，则积不容异．"这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的．为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为"祖暅原理"． 中国从隋建立起数学专科教育，开设算学馆．学习内容主要是算经十数；学制七年；三位一体（读书，考试，做官）的体制；学生来源整个大众，任何人可以报。 第四时期：中国传统数学的高潮（宋元时期） 数学内容在宋元达到高峰：数学教育家出现，专门研究数学教育制度。在日趋完善的数学教育制度下，涌现出了一代名垂青史的数学泰斗，如宋元五大数学家是：贾宪、秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰。 贾宪，北宋数学家。他继承了《九章算术》以来的诸多方法，扬弃了他们的不足，在算法机械化方面做出了贡献。他构造贾宪三角的“增乘方求廉法”，把中国古代数学的程序化思想又提高到一个新的阶段。 秦九韶，南宋著名数学家。他在数学上的贡献主要有：1、一般高次方程的解法；2、建立一般线性方程组严整规范的算法；3、一次同余式组完整解法程序的建立；4、三斜求积公式（等价于海伦公式）。 杨辉，南宋末年著名的数学家和数学教育家。在教学过程中，他搜集、阅读了大量数学著作，先后完成数学著作15种21卷。为普及日常所用的数学知识，他专门写了《日用算法》一书，书中的题目全部取自社会生活，多为简单的商业问题，也有土地丈量、建筑和手工业问题。他还为初学者制定了《习算纲目》，主要数学教育思想有：由浅入深，循序渐进；重视解题能力的培养，强调精讲多练，举一反三；充分利用直观材料，抽象与具体相结合；理论结合实际，注重应用能力的培养；循循善诱，指导学生学法。他的现金的教育思想和数学方法对后世也有深刻的影响。 元代著名数学家李冶和朱世杰私人传授数学的教育实践。李冶以《益古演段》教材，从最简单的方程，不等式，算术一直到四元术；朱世杰著有《算学启蒙》和《四元玉鉴》传世。 第五时期：中国传统数学的衰落（明初～清中1840年） 满清统治者为了维护其部族的统治压抑民智，如同黑暗的欧洲中世纪一样，思想领域实行强控制，不光政治文化的书籍要禁，就连包括数学在内的科学技术也不放过。《几何原本》、《天工开物》大批明代的科技成果或毁或弃，只要和官方的程朱理学不统一的，都要禁止。满清统治不支持西方传教士向中国的学者介绍西方科学知识和数学知识，不鼓励中国学人参与中西文化交流。学习西方科技不是国策，也没有形成社会风气。中国数学日渐衰落。 第六时期：中西数学的合流（清中～清末1911年） 自明末西方数学开始大规模传入中国以来，直到20世纪初中国数学与西方数学合流，这300多年间中国数学的发展实际上就是中国数学由传统走向近代的过程。以三角学、天元术和垛积术为纲具体研究数学研究内容的西化过程，中国数学家对西方数学的“拒斥”与“吸纳”之间的微妙关系在改变。中国数学家在幂级数、尖锥术等方面已独立地得到了一些微积分成果，在不定分析和组合分析方面也获得了出色的成绩。然而，即使是这样，在世界的同行们之中，我国也仍然没达到领先的地位。 第七时期：现代数学的奠基与发展（公元1911年～公元1976年） 19世纪末20世纪初，中国数学界发生了很大的变化，派出大批留学生，创办新式学校，组织学术团体，有了专门的期刊，中国从此进入了现代数学研究阶段。从1847年，形成了一个出国留学的高潮。这样一批海外学子归来之后，在科研、教育、学术交流等方面都有了新转变。其中在数学方面做出突出成就的有：苏步青、陈建功、陈省身、周炜良、许宝、华罗庚、林家翘等人。 1949年，新中国成立之初，国家虽然正处于资金匮乏、百废待兴的困境，然而政府却对科学事业给予了极大关注。1949年11月成立了中国科学院，1952年7月数学研究所正式成立，接着，中国数学会及其创办的学报恢复并增创了其他数学专刊，一些科学家的专著也竞相出版，这一切都为数学研究铺平了道路。正当数学家们奋起直追，力图恢复中国数学在世界上的先进地位时，一场无情的风暴席卷了中国。在文化大革命的十年中，社会失控，人心混乱，科学衰落，在数学的园地里除了陈景润、华罗庚、张广厚等几个数学家挣扎着开了几朵花，几乎是满目凋零，一片空白。 中华民族历来就有自强不息的光荣传统和坚韧不拔的耐力。浩劫以后，随着郭沫若先生那篇文采横溢的《科学的春天》的发表，数学园地里又迎来了万物复苏的春天。1977年，在北京制订了新的数学发展规划，恢复数学学会工作，复刊、创刊学术杂志，加强数学教育，加强基础理论研究… 
对中学数学教学的几点思考进入新世纪以后，我们面临的问题很多，其中最关键的就是怎样使产业升级，在这方面起重要作用是人才。究竟需要什么样的人才呢，专家们指出需要以下四种素质的人才：第一，有新观念；第二，能够不断从事技术创新；第三，善于经营和开拓市场；第四、有团队精神。为此数学教学中应加强学生这四个方面能力的培养。 一、在数学教学中培养学生的新观念、新思想 新观念中不仅包含对事物的新认识、新思想，而且包含一个不断学习的过程。为此作为新人才就必须学会学习，只有不断地学习，获取新知识更新观念，形成新认识。在数学史上，法国大数学家笛卡尔在学生时代喜欢博览群书，认识到代数与几何割裂的弊病，他用代数方法研究几何的作图问题，指出了作图问题与求方程组的解之间的关系，通过具体问题，提出了坐标法，把几何曲线表示成代数方程，断言曲线方程的次数与坐标轴的选择无关，用方程的次数对曲线加以分类，认识到了曲线的交点与方程组的解之间的关系。主张把代数与几何相结合，把量化方法用于几何研究的新观点，从而创立解析几何学。作为数学教师在教学中不仅要教学生学会，更应教学生会学。在不等式证明的教学中，我重点教学生遇到问题怎么分析，灵活运用比较、分析、综合三种基本证法，同时引导学生用三角、复数、几何等新方法研究证明不等式。 例 已知 a＞＝0，b＞＝0， 且 a+b=1， 求证 (a+2) (a+2) +(b+2) (b+2)＞＝25／2 证明这个不等式方法较多，除基本证法外，可利用二次函数的求最值、三角代换、构造直角三角形等途径证明。若将 a+b=1(a＞＝0，b＞＝0) 作为平面直角坐标系内的线段，也能用解析几何知识求证。证法如下：在平面直角坐标系内取直线段 x+y=1，(0＝＜x＞＝1)， (a+2) (a+2) +(b+2) (b+2)看作点（-2，-2）与线段x+y=1上的点(a，b)之间的距离的平方。由于点到一直线的距离是这点与该直线上任意一点之间的距离的最小值。而 d＊d=( -2-2-1|)/2=25/2， 所以(a+2) (a+2) +(b+2) (b+2)＞＝25／2。“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生。 二、在数学教学中培养学生的创新能力 创新能力在数学教学中主要表现对已解决问题寻求新的解法。“学起于思，思源于疑”，学生探索知识的思维过程总是从问题开始，又在解决问题中得到发展和创新。教学过程中学生在教师创设的情境下，自己动手操作、动脑思考、动口表达，探索未知领域，寻找客观真理，成为发现者，要让学生自始至终地参与这一探索过程，发展学生创新能力。如在球的体积教学中，我利用课余时间将学生分为三组，要求第一组每人做半径为10厘米的半球；第二组每人做半径为10厘米高10厘米圆锥；第三组每人做半径为10厘米高10厘米圆柱。每组出一人又组成许多小组，各小组分别将圆锥放入圆柱中，然后用半球装满土倒入圆柱中，学生们发现它们之间的关系，半球的体积等于圆柱与圆锥体积之差。球的体积公式的推导过程，集公理化思想、转化思想、等积类比思想及割补转换方法之大成，就是这些思想方法灵活运用的完美范例。教学中再次通过展现体积问题解决的思路分析，形成系统的条理的体积公式的推导线索，把这些思想方法明确地呈现在学生的眼前。学生才能从中领悟到当初数学家的创造思维进程，激发学生的创造思维和创新能力。 三、在数学教学中培养学生经营和开拓市场的能力 一切数学知识都来源于现实生活中，同时，现实生活中许多问题都需要用数学知识、数学思想方法去思考解决。比如，洗衣机按什么程序运行有利节约用水；渔场主怎样经营既能获得最高产量，又能实现可持续发展；一件好的产品设计怎样营销方案才能快速得到市场认可，产生良好的经济效益。为此数学教学中应有意识地培养学生经营和开拓市场的能力。善于经营和开拓市场的能力在数学教学中主要体现为对一个数学问题或实际问题如何设计出最佳的解决方案或模型。如证明组合恒等式Cnm＝Cnm－1＋Cn－1m－1，一般分析是利用组合数的性质，通过一些适当的计算或化简来完成。但是可以让学生思考能否利用组合数的意义来证明。即构造一个组合模型，原式左端为m个元素中取n个的组合数。原式右端可看成是同一问题的另一种算法：把满足条件的组合分为两类，一类为不取某个元素a1，有Cnm－1种取法；一类为必取a1有Cn－1m－1种取法。由加法原理及解的唯一性，可知原式成立。又如，经营和开拓市场时，我们常常需要对市场进行一些基本的数字统计，通过建立数学模型进行分析研究来驾驭和把握市场的实例也不少。这类问题的讲解不仅能提高学生的智力和应用数学知识解决实际问题的能力，而且对提高学生的善于经营和开拓市场的能力大有益处。 四、 在数学教学中培养学生团队精神 团队精神就是一种相互协作、相互配合的工作精神。数学教师在教学中多设计一些学生互相配合能解决的问题，增进学生协作意识，培养他们的团队精神。如我又在讲授球的体积公式时，课前我让20名学生用厚5厘米的纸板依次做半径为10、5、9 …… 5厘米圆柱，列出各圆柱的体积计算公式并算出结果。又让40名学生用厚25厘米的纸板依次做半径为10、75、5 …… 5、25厘米圆柱，列出各圆柱的体积计算公式并算出结果。课堂上我先把球的体积公式写在黑板上，然后让学生用两根细铁丝分别将两组圆柱按大到小通过中心轴依次串连得到两个近似半球的几何体。让大家比较它们的体积与半径为10厘米的半球体积，发现第二组比第一组的体积接近于半球的体积，如果纸板厚度变小得到的几何体体积愈接近于半球的体积，帮助学生发现了球的体积公式另一证法。同时不仅向学生讲教学过程中的实验材料为什么让大家各自准备，而且有意识地让学生损坏串连到一起的几何体和各自的小圆柱。通过这些使学生认识到只有齐心协力才能达到成功的彼岸。数学教学具有不仅使学生学知，学做；而且使学生学共同生活，学共同发展的目标任务。
