清风2080
几何学的发展史几何学研究的主要内容，为讨论不同图型的各类性质，它可说是与人类生活最密不可分的远自巴比伦，埃及时代，人们已知道利用一些图的性质来丈量土地，划分田园但是并没有把它当作一门独立的学问来看，只把它当作人类生活中的一些基本常识而已真正认真去研究它，则是从古希腊时代才开始的所以由此，我们约略的将几何学的发展，分为下列几个方向:古希腊的几何学解析几何投影几何非欧几何微分几何几何的公理化 古希腊的几何学的发展 发展阶段 古希腊几何发展的原因 欧基里德的贡献———介绍"Elements" 阿基米德的贡献 阿波罗尼阿斯的贡献 古希腊几何学中的著名问题(1)方圆问题(2)倍积问题(3)三等分角问题(4)平行公设 影响数学发展的人物 古希腊数学衰退的原因 与几何学有关的应用科学古希腊数学的批判 发展阶段:古希腊所发展的几何学是所有近代数学的原动力若要了解整个数学的架构，必定要先了解古希腊几何学的发展我们可将其分为三个阶段:(1)启蒙期:主要人物有泰利斯(Thales)，毕达哥拉斯(Pythagoras)，尤多沙斯(Eadoxus)泰利斯:为古希腊天文学与几何学之父，他曾正确的预测日蚀的时间他开始对一些几何图形做有系统的研究毕达哥拉斯(毕式学派):首创集体创作，称为毕式学派也是一位音乐家，发明毕式音阶毕式定理为几何学中的重要定理这个学派认为"数"是宇宙万物的基础C，尤多拉斯:创立穷尽法(exhaustion method)，所谓穷尽法就是"无穷的逼近"的观念，主要构想是为了求取圆周率π的近似值所予理论上说尤多拉斯是微积分的开山祖师尤多拉斯的另一贡献，为对比例问题做有系统的研究 (2)巅峰期:重要人物有:欧基里德(Euclid)阿基米德(Archimedes)阿波罗尼阿斯(Apollonoius)欧基里德:他将一些前人对数学的结果，加以整理，写成"Elements"这本书(中译为几何原本)这本书是有史以来第一本数学教科书，也是最畅销的在往后数学的每一分支都是由这本书出发的目前初中所学的平面几何学，内容仍以"Elements"这本书为主这本书的详细内容，将在后面单独介绍这本书的另一优点为浅显易读(readable)欧基里德本身并没有什麼重大的数学突破，它是一个数学的集大成者这本书直到明朝中叶以后才传人中国阿基米德:生於西西里岛，曾留学埃及亚历山大城是有史以来三大数学家之一，发明不计其数，以后我们将单独介绍他及他的贡献阿波罗尼阿斯:与阿基米德同一时代最大一贡献是对於圆锥曲线的研究，这对於以后的解析几何，以至於微积分的发明有直接的影响圆锥曲线的应用，直到16世纪才由刻卜勒加以发扬光大(3)衰退期:自阿基米德及阿波罗尼阿斯之后，希腊数学已渐渐走入衰退期在这中间，仍有几位值得一提的人物托勒密:将三角函数发扬光大，并由此将天文学炒热帕布斯:可说是末代时期的代表人物古希腊几何发展的原因:我们不禁要问:为什麼古希腊会发展出这麼伟大的一些数学结果，是什麼原动力使他们如此 在希腊以前的各支文明，都把大自然看成是无秩序的，神秘的，多元的，可怕的自然的现象均为神控制人的生活和运气都是神的意志决定但是希腊文明期，知识份子对自然摆出一种新的姿势，也就是理智的，评价的，现实的，他们主张自然界是有秩序的依照某一公式而表现其作用人类不仅能研究自然的法则，甚至预言什麼事情将发生毕学派首先提出下列观念:"将神秘性，不确定性从自然活动中抹去，并将表面看似纷乱不堪的自然现象，重新整理成可理解的次序和型式，并决定性的关键就在於数学的应用"继承毕式学派观念的就是柏拉图:柏拉图主张:"只有循数学一途，才能了解实体世界的真面目，而科学之成为科学，在於它含有数学的份"就是因为希腊时代的一些学者对於自然的这种看法和确立了依循数学研究自然的做法，给食腊时代本身及后来世世代代的数学创见提供了莫大的诱因而在数学的领域中，几何学是最接近实际的描述对希腊人而言，几何学的原则是宇宙结构的具体表现，本身正一门实际空间的科学几何学就是数学，研究的中心欧基里德的贡献:"Elements"这本书共有13册，其内容为:(1)1-6册:平面几何学，它是以下列五大公设为基础:a，任二点之间可作一直线b，直线可以任意延长，可以以任意点为圆心，任意长为半径，画出一圆d，直角皆相等，平行公设以研究下列性质:三角形的性质—全等，相似，等等平行线的性质—内错角，同位角毕式定理圆的性质 - 内接圆，外切圆比例的问题平行四边形的性质(2)7，8，9册:整数论讨论奇数，偶数，质数的问题，另外也讨论了穷尽法的应用(3)11，12，13册:立体几何讨论角锥，圆锥，圆柱等性质，也提到了穷尽法的应用(4)第10册:不可测问题类似无理数的性质这本书的最大的特色就是:它只引用了几个简单的假设，再根据这些假设，推导出一连串的定理，最后变成一套完整的理论，在因果之间确立了严密的逻辑推理，由此确立了数学为一门演绎的科学这本书也有一些缺点，而事实上这些缺点，就是使日后数学发扬光大的原动力举例来说，在第五个(平行公设)中，有无数的数学家在这假设上打转，最后终於在19世纪造就了非欧式几何学，而直接产生了爱因斯坦的相对论"Elements"为第一部成型的数学著作数学之基本概念，证明模式，定理布局的逻辑性，都经由研读它而得以通晓欧基里德的其他著作:锥线(Conics)它的内容是阿罗尼阿斯的"圆锥曲线"骨架现象讨论天文学的问题阿基米德的贡献:阿基米德在西元前287年生於西西里岛的西那库斯，他在亚力山大城求学 他治学的态度是从一些简单的公理出发，再用无懈可击的逻辑导出其他的定理，把物理及数学联合起来一起叙述，他算是第一人，因此我们也可以称他为物理学之父，他是第一个有科学精神的工程师，他找一般性的原理，然后用到特殊的工程问题上他最重要的贡献是将"穷尽法"发扬光大，它已经将等於这个观念跨向"任意趋近於"的观念，而这已经跨进近代微积分的领域，他曾用穷尽法算π的近似值，得到:1408<π<142858阿基米德创立了流体静力学(浮力原理是最重要的结果)，同时发现的杠杆原理，所以可以把他视为一个工艺学家(美劳专家)阿基米德的去世，可代表著希腊数学开始衰退的起点，我们到后面会专门讨论衰败的原因阿基米德著作的一个缺点是内容非常难懂，不具可读性的特性，所以未能像Element这本书流传这样广顺便一提的是，在1906年时在土耳其，发现了一本当年阿基米德的著作"The Method"，在当时引起一阵轰动阿波罗尼阿斯的贡献:他居住亚力山大，与阿基米德同一时期他主要的研究对象是圆锥曲线，在他之前也有一些零星的结果，但是由他开始对圆锥曲线作严密的定义与讨论由几何学的观点来看，它所著的"圆锥曲线"这本书可说是古希腊几何学的巅峰这本书计有八册，共有487个项目其真正的实用性，直到16世纪才被发扬事实上，在这以后，任何时期的数学家在启蒙入门时大概都是靠欧基里德的"Element"与阿波罗尼阿斯的"圆锥曲线"起家的希腊数学中的著名问题:所谓的问题，就是只能用圆规与没有刻度的直尺之下，是否可以解决下列问题:方圆问题:是否能将一个已知的圆，变成一个正方形，而使得两者面积相等 这个问题在由尤多拉斯时代，就有许多人在这方面的研究，直到十九世纪才证明其为不可能，但是研究期间，已经另外产生了许多数学的分支倍积问题:对一个已知的正立方体，长，宽，高应该扩大，才可使新的立方体为原来立方体体积的两倍等分角问题:对任意的一个角，如何将其三等分问题2，3到十九世纪才被解决，证明为不可能平行公设:有人认为平行公设不为一公设，所以有人将平行公设这个去除，结果造出一套新的几何学出来，而又不会违背原来的欧式几何，这也就是非欧几何学也就是爱因斯坦相对论的基础也许有人认为希腊人不切实际，这三个问题在当时，可说完全无实用性，只可说是一些有闲阶级的人磨练脑力之用但是就是因为有那麼多人投下心力去研究，才会间接带动几何学研究的风潮而因此产生以后数学蓬勃的发展对数学发展有影响力的人物(1)亚力山大大帝(2)托勒密王朝:建立了亚力山大城，并建立了亚力山大图书馆，为世界当时最大图书馆在这个图书馆中，产生了许多有影响力的学者(阿基米德等人)Hiero国王:为西西里岛国王，阿基米德的直接赞助者苏格拉底，柏拉图，亚里斯多德克利奥派翠亚(埃及艳后)托勒密王朝的末代人物，亚力山大图书馆的第一次大火，就因它而起(第一认浩劫)基督教领袖与回教领袖:对希腊数学作第二次与第三次摧毁的主要角色希腊数学的衰退在阿基米德，阿波罗尼阿斯等人之后，希腊数学开始衰退，以后我们将讨论它所遭受的灾难:第一次浩劫:罗马人的来临，使得希腊数学遭到破坏罗马人都很实际，他们设计完成很多工程，但是却拒绝去深思用的原理罗马的皇帝也不热衷的支持数学家希腊在公元前十四世纪完全被罗马征服当时托勒密王朝的末代君主为克利奥派翠亚(埃及艳后)与凯撒很好，凯撒为了帮助她与她的兄弟的纷争，放火烧了亚力山大港的战舰，结果大火无法控制，将亚力山大图书馆也烧掉了大概有数以百万计的图书及手稿全部付之一炬，造成重大损伤这一次损伤，耗了希腊数学不少元气第二次浩劫:基督教的兴起，使得希腊数学面临第二次浩劫因为他们反对教会外的研究，并且嘲弄数学，天文学及物理学基督徒被迫禁止参与希腊研究，以防止受到污染所以又有成千上万的希腊书被毁第三次浩劫:回教徒征服亚力山大城后连最后的一些图书都被烧掉，当时的回教征服有一句话说:若是这些书的内容在可兰经中已有，则我们不必去读它若在可兰经中没有则更不应该去读它，所以全部图书付之一炬残余的部份:此时，一些学者都移居君士坦丁堡，寄托於东罗马帝国之下，虽然仍感到基督徒的不友好气氛，但是总是较安全，使得知识的库存又慢慢增加，直到14世纪文艺复兴时才又再发扬光大与几何学有关的科学天文学:对希腊人而言，几何学的原则是宇宙空间的具体表现，所以几乎每个数学家都曾在天文学上下过功夫事实上，三角学的发明，就是要研究天文学而发展出来的技术有许多数学家都曾设计过天体间星球运行的模型当时流行的有日心识菟地心说，日心说由阿里斯塔克提出(他是亚力山大城第一位伟大的天文学家)，但是当时反对的人很多地心说由托勒密提出来的这个学说直到16世纪时才被推翻在托勒密的时代，也就是天文学发展最巅峰的时期另一位伟大的天文学家是阿波罗尼阿斯，他以数量的观点来描述过星球运动，这已接近18世纪时天文学的研究领域托勒密的Almagest为经典之作另外，中国的历代数学家在几何在也作出了不小的贡献，单列如下：中国几何发展史自明朝后期(十六世纪)欧几里得"几何原本"中文译本一部分出版之前，中国的几何早已在独立发展着。应该重视古代的许多工艺品以及建筑工程、水利工程上的成就，其中蕴藏了丰富的几何知识。 中国的几何有悠久的历史，可靠的记录从公元前十五世纪谈起，甲骨文内己有规和矩二个字，规是用来画圆的，矩是用来画方的。 汉代石刻中矩的形状类似现在的直角三角形，大约在公元前二世纪左右，中国已记载了有名的勾股定理(勾股二个字的起源比较迟)。 圆和方的研究在古代中国几何发展中占了重要位置。墨子对圆的定义是："圆，一中同长也。"—个中心到圆周相等的叫圆，这解释要比欧几里得还早一百多年。 在圆周率的计算上有刘歆(？一23)、张衡(78—139)、刘徽(263)、王蕃(219—257)、祖冲之(429—500)、赵友钦(公元十三世纪)等人，其中刘徽、祖冲之、赵友钦的方法和所得的结果举世闻名。祖冲之所得的结果π=355/133要比欧洲早一千多年。 在刘徽的"九章算术"注中曾多次显露出他对极限概念的天才。 在平面几何中用直角三角形或正方形和在立体几何中用锥体和长方柱体进行移补，这构成中国古代几何的特点。 中国数学家善于把代数上的成就运用到几何上，而又用几何图形来证明代数，数值代数和直观几何有机的配合起来，在实践中获得良好的效果． 江苏吴云超解答 供参考！ 
几何学是一门研究『空间』与『移动』的学问这里的『空间』指的是正统的『几何空间』，包括各种具体或抽象的几何图形，甚至是整个宇宙空间的几何构造;而『移动』则是这些几何空间的表现，例如:平移，旋转， 对称，波动等等因此，几何学可说是真实世界与抽象世界的舞台与演员的演出而数学家Descartes (笛卡儿， 1596 1650)曾说:『人类心智与生俱来有完美，空间，时间和运动等观念』 不论是实际生活上为了丈量与计算的需要，或是对於宇宙空间的好奇与探索，亦或是对於『美』的追求，自从人类开始生活在地球上，几何概念的演进便未曾停歇而几何学的发展，也使人类开始真正认识我们所生存的宇宙空间影响几何学发展的重要思想在孕育出有如巨大神木之现代几何学的过程中，许多重要的理论是这棵几何神木的主要枝干以作者的观点，我们将其由古至今，总括为以下25个: 的概念的形成毕氏定理欧基理德几何原本及其影响柏拉图的五个正立方体阿基米德的球体积的推导祖冲之原理笛卡儿的座标系统牛顿，莱布尼兹的微积分发明高斯的优美定理，Gauss-Bonnet定理非欧几何的发展与黎曼的内在几何观 Lagarange的变分法及Laplace的天体力学尤拉数与波动方程 Klein's24几何学发展史简介庞加莱平面及基本群 Hilbert的几何基础爱因斯坦的广义相对论 de Rham cohomology，Hodge理论及Cartan的微分形式观点陈省身的特徵类与Chern-Weil， Chern-Simon理论 Rauch比较定理 Atiyah-Singer指标定理丘成桐教授所代表的几何分析 Donaldson， Seiberg-Witten理论 M Gromov的辛几何 Mandelbrot的碎形几何与混沌理论以及电脑时代的产物-计算几何的发展，这可能是本世纪最为重要的以下我们由思想的演进以及人类在几何观点上的变化，从上述的重要思想理论中，再挑出十个做较为深入的探讨从作者的角度来看，这十个思想代表了整个几何发展的主轴它们分别是:一 Pythagoras (毕达哥拉斯，约西元前6世纪) :毕氏定理毕氏定理又称为『商高定理』，在小学的数学教材内即有收录这个在现在看起来相当容易理解的定理却可视为一个文明能否发展的重要指标简单的说，由於毕氏定理的提出，显示人类已经能够『初步地掌握方向的变化』两千六百年前的人已经知道，如果从起点开始向东走四步，再向北走三步，则最后到达的地方与原出发点的距离为五步之遥也就是说我们已经会变化方向，而不再只是单线的在前进有了这样的概念，三角形中的正弦定理，余弦定里就可以被推导出来，并可被运用来测量距离，造桥，筑屋及计算炮弹射程等等二 Euclid (欧基理德，约西元前300 260) :几何原本Archimedes (阿基米德，约西元前287 212) :级数和，球体积欧基理德的几何原本(The Elements)总结了希腊时代的数学成果它被认为是西方科学发展异於东方科学的最大特色在书中推导出许多现存於中学数学教材内的重要结果，例如像毕氏定理，三角形内角和等於180度等等，而推出这些结果的主要依据，则是像下面几个基本的几何公设:五大几何公设1 过相异两点，能作且只能作一直线(直线公理)线段(有限直线)可以任意地延长以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆(圆公理)凡是直角都相等(角公理)两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小於两个直角，则两直线作延长时在此侧会相交26数学传播28卷1期 民93年3月其中第五公设又叫做『平行公设(the parallel axiom)』，因为它等价於:5'在一平面内，过直线外一点，可作且只可作一直线跟此直线平行奥瑟曼教授对於这本在两千三百多年前完成的书有很高的评价，他的评价是: (参见[3]，69 70)它给了相当的『确定感』;它的方法具有强大的威力;证明方法展现高妙的才智;几何图形的美感也许以现代的角度看来，几何原本所提及的仅是相当基础的内容，但是在两千两百多年以前，人类却能以这些简单的知识，加上对天文的观测，巧妙地测量出地球的长度埃拉托斯特尼(Eratosthenes，约西元前270-190)采用了如下的做法:距离当时的亚历山大城正南方500英哩处有一座亚斯文城，这个城市有著相当特殊的地理位置，它与我们的嘉义市相同，位於北回归线上所以在亚斯文城的地面上插上一根旗竿，观察每天正午竿影的长度，我们可以确定一年中夏至(太阳直射北回归线)的时间埃拉托斯特尼在夏至的正午时分，同时在亚历山大城与亚斯文城插上一根旗竿，并且测量出旗竿与太阳光线所夹的角度大约是圆周长的50分之一，因而算出地球的周长大概是500×50 = 2500 (英哩)这已经是相当精确的数值在那个大多数人认为地表是平坦的年代，只用一些简单的数学理论及天文知识，却可以把地球的大小测量出来在希腊时代，人类可以处理一些非常正规的图形到了阿基米德的时代，他利用杠杆原理来推导球的体积除此之外，阿基米德对於弯曲的几何形体也有初步的掌握例如他用无穷级数和的方法能够求得直线与抛物线围成的区域面积大概有多大另一方面，在大约西元五世纪时，中国数学家祖冲之利用所谓的祖冲之原理『若两立体在等高处截的面积一样，则这两个立体的体积相等』，也可以推算出球的体积虽然这些问题在微积分出现之后就变得相当容易解决，但是在微积分诞生之前人类就有这样的概念，其实是相当伟大的三 Descartes (笛卡儿， 1596 1650) :座标系统根据科学演进的过程看来，笛卡儿的座标系统可说是西方科学发展的重要里程碑在一个抽象的平面上建立一个直角座标系统X与Y，精确地描述每一个点的位置，这样的概念对现在的国中生来说，是相当容易理解的，也觉得很容易学，但是它却有划时代的作用在希腊时代，人类处理几何的问题，只能以图形的角度出发，透过作图，画辅助线等方式来决定诸如是否等分或是否垂直等问题但是这个座标系统一给定之后，我们便可以把几何问题代数化例如，在笛卡儿之前所了解的直线或圆只是一个图像，但是有了座标系统之后，我们可以用方程式很精确几何学发展史简介27地把它们描述出来，也可以很清楚的知道它们的相交状况除了把几何图像转换成可操作的数字之外，笛卡儿的座标系统同时说明了数字的问题也有其几何意义
