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勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。 据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！ 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 勾股定理的证明：在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。 1．中国方法：画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是 a^2+b^2=c^2。 这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。 2．希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图。 容易看出， △ABA’ ≌△AA'C 。 过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。 △ABA’与正方形ACDA’同底等高，前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。 于是， S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC， 即 a2+b2=c2。 至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。 这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。 以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： ⑴ 全等形的面积相等； ⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。 这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。 我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法： 如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。 赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。 下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。 如图， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。 ② 比较以上二式，便得 a2+b2=c2。 这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。 在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ② 我们发现，把①、②两式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD）， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 a2+b2=c2。 这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法： 设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因为∠C=90°，所以cosC=0。所以 a2+b2=c2。 这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。 人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 总之，在勾股定理探索的道路上，我们走向了数学殿堂赞同1| 评论 
//世界人口问题论文 （地理小论文） 一、影响人口增长的主要因素 经济因素： 经济因素对人口自然增长的作用主要表现在它决定了人口的增殖条件和生存条件，通过改变人口的出生率和死亡率来影响人口的自然增率。一般情况下，当人口数量不能满足经济发展对劳动力的需求时，人口自身的再生产必将会刺激；当人口数量超越了经济发展所能提供的消费总数后，人口自身的再生产必将受到遏制。在现代生产力水平下，人口的自然增长率往往随着经济水平的提高而下降。经济因素对人口机械增长也有重要影响。通常情况下，经济发达或发展速度较快的地区，对人口具有一种吸引力和凝聚力，人口机械增长为正值；相反，经济落后或经济发展速度缓慢的地区，对人口会产生一种排斥力和离散力，人口机械增长一般为负值。 文化因素： 这一因素更多地影响着人口的自然增长。随着科学文学水平的提高，人口自然增长率趋于下降，现代社会里这一趋势尤为明显，其表现主要在三个方面：一是由于人们接受教育年限的延长，平均婚龄也会相应推延；二是科学文化水平愈发达，人们的生理知识、育儿知识、保健知识就愈丰富，促成婴儿死亡率降低；三是人们的科学文化水平愈高，就愈加注意自身及其后代各项素质的提高，少生优育，把有限的收入用于将子女培养成具有更高科学文化素质的现代人。 医疗卫生因素： 医学的进步和医疗卫生事业的发展对人口出生率和死亡率有着直接影响。首先，它使得因各种疾病致死的死亡率下降，从而降低人口死亡率，延长人口平均寿命；其次，它对控制生育和实行优生优育有着积极的作用。 二、世界人口分布 人口地理分布是人口增长过程在空间的表现形式。它是一种复杂的社会现象，即深受自然条件的影响，更受制于社会、经济、政治制度。 世界人口分布不平衡 由于世界各国自然环境和经济发展水平的差异，因而人口的地理分布是不平衡的。世界人口空间分布分为人口稠密地区、人口稀少地区和基本未被开发的无人口地区。据统计，地球上人口最稠密地区的约占陆地面积的7%，那里却居住着世界70%人口，而且世界90%以上的人口集中分布在10%的土地上。人口在各大洲之间的分布也相当悬殊。欧亚两洲约占地球陆地总面积的2%，但两洲人口却占世界人口总数的2％。尤其是亚洲，世界人口的60％居住于此。非洲、北美洲和拉丁美洲约占世界陆地面积的一半而人口尚不到世界总人口的1/4。大洋洲陆更是地广人稀。南极洲迄今尚无固定的居民。欧洲和亚洲人口密度最大，平均每平方公里都在90人以上，非洲、拉丁美洲和北美洲平均每平方公里在20人以下。大洋洲人口密度最小，平均每平方公里才2．5人。世界人口按纬度、高度分布也存在明显差异：北半球的中纬度地带是世界人口集中分布区，世界上有近80%的人口分布在北纬20°～60°之间，南半球人口只占世界人口的11％多；世界人口的垂直分布也不平衡，55％以上的人口居住在海拔200米以下、不足陆地面积28％的低平地区。由于生产力向沿海地区集中的倾向不断发展，人口也随之向沿海地带集中。目前，各大洲中距海岸200公里以内临海地区的人口比重，已显著超过了其面积所占的比重，并且沿海地区人口增长的趋势还会继续发展。从国家看，情况也是这样。目前世界上约有200个国家和地区，其中人口1亿以上者有10个国家，它们是中国、印度、美国、印度尼西亚、俄罗斯联邦、巴西、日本、尼日利亚、巴基斯坦和孟加拉。这10国人口总数共有5亿多，约占世界总人口的60％。此外，世界上还有一些人口非常少的国家，如瑙鲁(0．7万人)、安道尔(5万人)、圣马利诺(2．3万人)、摩纳哥(3万人)、梵蒂冈(1380人)。从各国人口密度来看，摩纳哥的人口密度最大、每平方公里达2万人，新加坡4300人，梵蒂冈1920人，马尔他1110人等。世界人口密度最低的国家有法属圭亚那(1人)。蒙古(1人)、纳米比亚(2人)、利比亚(2人)、毛里塔尼亚(2人)、冰岛(2人)等。 人口越来越向城市集中 近代以来，世界人口越来越向城市集中，使全球人口分布表现出大小不等的一些密集的点。进入90年代，全世界总人口中已有49％以上集中于城市。 世界人口最稠密和最稀少地区 从人口地区分布图上能确切地反映出人口的实际分布状况。世界人口分布最稠密的地区有如下几类：①沿海沿湖的平原地带。特别是一些海岸线比较曲折、具有优良港湾地区，或某些大河入海口处。如亚洲大陆东部沿海区、南亚沿海区，欧洲波罗的海沿岸区，大西洋沿岸、地中海沿岸、非洲几内亚湾沿岸区，美国大西洋沿岸波士华地区，佛罗里达和墨西哥湾沿岸区、太平洋沿岸加利福尼亚、西雅图—温哥华(加)地区，五大湖地区，巴西——委内瑞拉沿海区，阿根廷——乌拉圭沿海区，智利——秘鲁沿海区、澳大利亚东南部沿海区；②流入三大洋的一些大河的中下游平原地带或河口三角洲地区。亚洲东部、南部尤为突出。③若干温带和热带的岛屿和半岛上。岛屿四面环海，半岛三面环海，若位置适中，并兼有优良港湾，则往往成为经济发达、人口密集的地区；④内陆某些矿产资源丰富的地方。由于矿业开发，以及修筑铁路和公路，随之成为工业中心而形成一个城镇集团；⑤热带和亚热带地区某些内陆高原上。由于地势较高，没有平原或低地区那样炎热和潮湿，危害人们健康的热带疾病也大为减少，如墨西哥高原、巴西高原、秘鲁高原、东非高原等地；⑥沙漠中的绿洲地区等。世界人口非常稀少地区的有以下几类：①两极圈以内地区；②北半球北纬50度至北极圈之间广大的原始森林地带；③回归线附近和温带大陆内部的沙漠、戈壁地区；④热带雨林区；⑤高山地区。 三、人口增长的重要原因 马克思的人口论认为，人有两重性。人一方面是消费者，另一方面是生产者。人作为消费者是无条件的、绝对的，人从出生到死亡的整个生命过程都要消费生活资料；人作为生产则是相对的、有条件的。首先要具备一定的年龄条件，老人和小孩只能作为消费者，不能作为生产者；其次，要具备一定的身体条件，残废的人、有病的人都很难成为生产者；再次，人作为生产者要占有或使用一定的生产资料。此外，作为生产者还必须掌握一定的生产经验和生产技术。所以人口增长要与物质资料增长相适应，如果做到这点，无论是人口多，还是人口少，都对生产有促进作用。如果人口增长大于物质资料的增长，一部分过剩人口无法与生产资料相结合，将从生产者转变为消费者，这将加重社会负担；如人口增长慢于物质资料的增长，一部分生产资料将无法与人口相结合，资源未能得到充分开发，同样会影响生产发展。所谓人口问题就是人口增长与物质资料的增长不相适应并且影响到国民经济的发展和人民生活水平提高的增长速度。马克思认为，通过人口自我调节，人类完全能够使物质资料生产与人类自身生产相统一。 所以现在人们应该有计划的生育，使世界人口与自然和社会相协调。
