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范数(norm)是数学中的一种基本概念。在泛函分析中，它定义在赋范线性空间中，并满足一定的条件，即①非负性；②齐次性；③三角不等式。它常常被用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小。中文名范数外文名norm应用学科数学适用领域范围代数本质函数快速导航算子范数空间范数矩阵范数名词定义范数范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。定义范数的矢量空间是赋范矢量空间；同样，定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。注：在二维的欧氏几何空间 R中定义欧氏范数，在该矢量空间中，元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段，每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。半范数假设 是域 上的矢量空间，V的半范数是一个函数 ， ，满足： （非负性） （正值齐次性） (三角不等式)范数=半范数+额外性质赋范线性空间 若 是数域上的线性空间，泛函 满足：(1)正定性： ，且 ；(2)正齐次性： ；(3)次可加性（三角不等式）： 。那么， 称为 上的一个范数。如果线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。当且仅当 是零矢量(正定性）时， 是零矢量；若拓扑矢量空间的拓扑可以被范数导出，那么这个拓扑矢量空间被称为赋范矢量空间。内积、度量、拓扑和范数的关系(1) 范数 度量 拓扑： ，因此赋范线性空间是度量空间；但是由度量不一定可以得到范数。(2) 如果赋范线性空间作为（由其范数自然诱导度量 的）度量空间是完备的，即任何柯西(Cauchy）序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫（Banach）空间。(3) 内积 范数： ；范数不一定可以推出内积；当范数满足平行四边形公式 时，这个范数一定可以诱导内积；完备的内积空间称为希尔伯特空间。 
