木木夕mony
有一定区别基本的线性代数会包含矩阵的基本知识矩阵论中一般更详细的讲各种矩阵分解，微积分，广义逆矩阵，λ矩阵，约当型，复矩阵等内容 
QR分解即是将矩阵分解为正交阵和上三角阵的乘积，严格表述如下：设A为一个n级实矩阵，且|A|≠0，则A=QT。其中Q为正交阵，T为上三角阵，且分解唯一。证明如下：（1）设A=(aij)，它的n个列向量为α1，，αn。由于|A|≠0，所以α1，，αn线性无关，从而是R^n的一组基。利用施密特正交化过程，由α1，，αn可得正交基和标准正交基η1，，，，，ηn：β1=α1，η1=β1/|β1|；β2=α2-(α2，η1)η1，η2=β2/|β2|；βn=αn-(αn，η1)η1--(αn，η(n-1))η(n-1)，ηn=βn/|βn|。再将βi=|βi|ηi (i=1，2，，n)带入等式左边，移项整理得α1=t11η1，α2=t12η1+t22η2，αn=t1nη1+t2nη2++tnnηn。其中tii=|βi|>0，(i=1，2，，n)，tij=(αj，ηi)，(i≠j)，即A=(α1，，αn)=(η1，，ηn)(t11 t12 t1n;0 t22 t23 t2n;;0 0 tnn)=QT。（2）下证唯一性：若还有Q1、T1，也使得A=Q1T1=QT，其中Q、Q1正交，T、T1为主对角元>0的上三角矩阵。由Q1T1=QT得Q1^(-1)Q=T1T^(-1)由于Q1^(-1)Q是正交阵，从而T1T^(-1)也是正交阵，且为上三角阵。故T1T^(-1)主对角元为±1（由T1、T主对角元为正，故T1T^(-1)主对角元只能为1）且为对角阵。即T1T^(-1)=E，即T1=T。再由T非退化，从而Q1=Q，即分解唯一，证毕。
