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浅谈向量与空间解析几何摘要:根据作者从事《解析几何》课程的教学体会，对学生习作过程中忽视向量的作用的现象提出警示，阐明了向量在解决空间问题中的优势，向量思想是解析几何学的灵魂，要学好《解析几何》课程就必须牢牢把握好向量这一有效工具。关键词:解析几何;向量思想;向量工具;认知结构解析几何是高等师范院校数学各专业大学一年级学生必修的基础课课程，是中学平面解析几何课程自理论到实践的加深和拓展。在中学，解析几何课程主要研究平面上一些点、线的几何位置和几何性质，所涉及的点、直线、曲线均共面，它们都落在坐标系所在的平面内。在大学，解析几何课程所讨论的主要是空间图形，所涉及的点、线、面的位置关系复杂。教材从空间向量与坐标入手，主要以向量为工具，研究空间中的一些几何图形及性质，不论从知识上还是从思维上，都是对中学内容的加深和提高。由于平面上的几何图形比较直观，点、线之间的关系比较简单，主要以坐标为工具进行研究;而空间上的几何图形，大多比较复杂，构成图形的点、线、面及其之间的位置关系较复杂，仅用坐标工具远远不能达到研究问题的最佳境界，只有使用向量这一工具，才能比较好而深刻地探讨空间图形问题。由于刚进校的大一学生处于中学到大学的过渡阶段，应该说学生在中学所学的有关知识是进一步学好大学解析几何的基础，但在教学过程初期也发现，学生在中学学习过程中所形成的思维方式和处理问题的方法，对进一步学习新知识有时也有一定的负面影响，主要表现在新学的知识不易被应用，或者说，在解答解析几何问题时只想到用坐标，而没有优先考虑到使用向量工具。对新内容学习感到种种不适应，在分析问题和解决问题时感到困难等。根据现代数学教育学的观点，数学学习的实质就是形成和完善数学认知结构的过程。因此，引导学生在已有知识结构的基础上尽快地构建新的认知结构，掌握向量的应用，灵活运用向量解决问题，认清向量在解决空间问题中的优势，领悟向量思想是解析几何学的灵魂，从而提高学习效率，使学习解析几何变得简单、有趣，就成为教学过程中的一项首要工作。无论是直线、平面方程的讨论，还是空间曲面、曲线的参数方程以及通过方程去讨论图形，到处都需要向量的参与。它就象木匠的尺子、石匠的凿子，在整个学科的展开中处处需要，向量工具灵活、好用。它有时是三角形的边，三角形的边的关系，经过向量的参与就变成简单的和的关系。它有时又是一个方向，用它可以决定直线的方向、平面的倾斜度，而一族直线、一族平面之间的关系有时通过两个小小的向量之间的关系就可以解决了。在讨论空间曲线、空间曲面的方程时，复杂、多变的轨迹问题，又变成了有公共起点的变向量问题，寻找到变向量的变化规律后，问题就迎韧而解了。因此说，向量思想是解析几何学的灵魂，要学好《解析几何》这一课程就必须掌握向量的作用，并要牢牢把握好向量这一有效工具。参考文献:[1]吕林根，许子道解析几何[M]北京:高等教育出版社， [2]吕林根解析几何学习辅导书[M]北京:高等教育出版社， [3]李秉德，李定仁教学论[M]北京:人民教育出版社， [4]李正银试论高师数学专业学生能力的培养[J]数学教育学报， 1996， 5(3): 54~57· 
解：（1）vl={2，1，2}，设l的垂面在x0，y0，z0处与l'的交点P的距离为最小值a；则有：2(x-x0)+(y-y0)+2(z-z0)=(i)， 满足直线l：x0+1=2(y0+3)=z0-(2)，得:x0=2y0+5; z0=2y0+8;代入式(ii)，得：2x+y+2z-2(2y0+5)-y0-2(2y0+8)=2x+y+2z-9y0-26=(iii); 交于 l':-3(x-2)=4(y-1)=12(z-3)(iv)，得：x=-4(z-3)+2=-4z+14， y=3(z-3)+1=3z-8;（iii)，(iv)两式联立求解，得：2(-4z+14)+3z-8+2z-9y0-26=-3z-6-9y0=0; z=-3y0-2; x=4z+14=4(-3y0-2)+14=-12y0+6， y=3z-8=3(-3y0-2)-8=-9y0-14;(x-x0)=(-12y0+6)-(2y0+5)=-14y0+1; y-y0=-9y0-14-y0=-10y0-14; z-z0=-3y0-2-(2y0+8)=-5y0-10; （x-x0)^+(y-y0)^+(z-z0)^2=(-14y0+1)^2+(-10y0-14)^2+(-5y0-10)^2=196y0^2-28y0+1+100y0-280y0+196+25y0^2+100yo+100=321y0^2-208y0+297=a^2; 即321y0^2-208y0+(293-a^2)=(v);Δ=4(-104)^2-4*321*(297-a^3)=4(321a^2-84521)>=0;a^2>=263+98/321，a^2最小的整数为289;在整数范围内amin=17；看来此题纸可以做定性分析，不可以定量分析。为此进行坐标平移和旋转，使vl与z轴同向，以便于分析空间曲面和直线。设新的坐标为O'-x'y'z'；vl'·vl={-4，3，1}·{2，1，2}=-8+3+2=-3;√[(-4)^3+3^2+1]=√26;令: 二向量的夹角 vl，^vl'=θ， cos(π-θ)=-1/√26， cosθ=1/√26; sinθ=5/√26; 在新坐标中的直线l为x=y=0; 设新的向量： Vl=√[2(2^2)+1]k=3k， Vl'={0，5，1}；vl'对于旋转的向量族，有： Vl'={5cosψ，5sinψ，1}；当ψ=0时，Vl'={5，0，1};Vl^0={0，0，1}对于垂直于直线l的每一个截面，都有：(x'cosψ)^2+(y'sinψ)^2=(2+z'/sinθ)^2；所以这是一个双曲面函数所形成的旋转体。见下图。为了使vl‘·vl为正数，图中调整了vl’的方向。θ(2) 从图中可以看出，只有当截取高度等于2的截面在z'=+/-1时，旋转体的体积最小。对于半径最小值为2的曲面来说，在平面x=2做切面与旋转体的截面形成两条的以x轴为对称的交叉直线，直线l'的向量分别为：Vl'={0，5t，t}和Vl'={0，-5t，t}，当z长度为t时，x=2，y=5t，所以曲面是有下列参数方程组成的曲面:x=√[4+25t^2/26)cosψ， y=√[4+25t^2/26)sinψ， z=t; 它等价于在yOz平面直线z=1/5y+2，绕z轴旋转一周的体积（祖暅原理）；2*2π∫(0，1)(1-y)dz=4π∫(0，1)[1-5(z-2)]dz=4π∫(0，1)(11-5z)dz=4π(11z-5z^2/2)=34π。修改：直线方程是：z=k(y-2)，当z=0时，y=2;z=1时，y=5；则k=1/3；所以这个旋转直线的方程为：z=(1/3)(y-2);(因为2是横轴的截距，不是纵轴的截距)：y=3z+2; 积分式：V=2π∫(0，1)[5^2-y^2)dz=4π∫(0，1)[25-(3z+2)^2]dz=4π∫(0，1)(-9z^2-12z+21)dz=2π(-9z^2/3-6z^2+21z)(0，1)=2π(-9+21)=24π。对不起。
