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函数概念的发展历史早期函数概念——几何观念下的函数十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系十八世纪函数概念——代数观念下的函数1718年约翰•贝努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数” 18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式”他把约翰•贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰•贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义十九世纪函数概念——对应关系下的函数1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限1822年傅里叶（Fourier，法国，1768——1830）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受这就是人们常说的经典函数定义等到康托(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象现代函数概念——集合论下的函数1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)元素x称为自变元，元素y称为因变元” 
1．函数概念的产生与发展（1）函数概念的起源函数概念的萌芽，可以追溯到古代对图形轨迹的研究，随着社会的发展，人们开始逐渐发现，在所有已经建立起来的数的运算中，某些量之间存在着一种规律：一个或几个量的变化，会引起另一个量的变化，这种从数学本身的运算中反映出来的量与量之间的相互依赖关系，就是函数概念的萌芽。在代数学的方程理论中，对不定方程的求解，使得人们对函数概念逐步由模糊趋向清晰。（2）函数概念的产生恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学” 。笛卡儿在1637年出版的《几何学》中，第一次涉及到变量，他称为“未知和未定的量”，同时也引入了函数的思想。英国数学家格雷果里在1667年给出的函数的定义，被认为是函数解析定义的开始。他在“论圆和双曲线的求积”中指出：从一些其他量经过一系列代数运算或任何其他可以想象的运算而得到的一个量。这里的运算指的是五种代数运算以及求极限运算，但这一定义未能引起人们的重视。一般公认最早给出函数定义的是德国数学家莱布尼兹，他在1673年的一篇手稿中，把任何一个随着曲线上的点变动而变动的几何量，如切线、法线、点的纵坐标都称为函数；并且强调这条曲线是由一个方程式给出的。莱布尼兹又在1692年的论文中，称 幂的 、 、 等为 的幂数，把幂与函数看作同义语，以后又用“函数”表示依赖于一个变量的量。（3）函数概念的扩张函数概念被提出后，由于微积分学的发展，函数概念也不断进行扩张，日趋深化。致使函数概念日趋精确化、科学化。函数概念在发展过程中，大致经过了以下几个阶段的扩张。第一次扩张主要是解析扩张，提出了“解析的函数概念”。瑞士数学家约翰．伯努利于1698年给出了函数新的定义：由变量 和常量用任何方式构成的量都可以叫做 的函数。这里的“任何方式”包括了代数式子和超越式子。1748年欧拉在《无穷小分析引论》中给出的函数定义是：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的”。1734年欧拉还曾引入了函数符号 ，并区分了显函数和隐函数、单值函数和多值函数、一元函数和多元函数等。在十八世纪占主要地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式(有限或无限的)。函数概念的第二次扩张是从几何方而的扩张，提出了“几何的函数概念”。十八世纪中期的一些数学家发展了莱布尼兹将函数看作几何量的观点，而把曲线称为函数(因为解析表达式在几何上表示为曲线)。达朗贝尔在1746年研究弦振动问题时，提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数，后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，因此提出了一个新的定义，函数是：“ 平面上随手画出来的曲线所表示的 与 的关系”。即把函数定义为由单个解析式表达出的连续函数，也包括由若干个解析式表达出的不连续函数（不连续函数的名称是由欧拉提出的）。函数概念的第三次扩张，朴素地反映了函数中的辩证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程。形成了“科学函数定义的雏型”。1775年，欧拉在《微分学》一书中，给出了函数的另一定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数”。值得指出的是，这里的“依赖”、“随之变化”等等的含义仍不十分确切。这个定义限制了概念的外延，它只能算函数概念的科学雏型。在这次函数概念的扩张中，十九世纪最杰出的法国数学家柯西在1821年所著的《解析教程》中，给出了如下函数定义：“在某些变量间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其他变量的值也随之确定，则将最初的变量称为自变量，其他各个变量称为函数”。这个定义把函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清的关系给予了澄清，也避免了数学意义欠严格的“变化”一词。函数是用一个式子或多个式子表示，甚至是否通过式子表示都无关要紧。函数概念的第四次扩张，可称为“科学函数定义”进入精确化阶段。德国数学家狄利克雷于1837年给出了函数定义：“若对x(a≤x≤b)的每一个值，y总有完全确定的值与之对应，不管建立起这种对应的法则的方式如何，都称y是x的函数”。这一定义彻底地抛弃了前面一些定义中解析式的束缚，强调和突出函数概念的本质，即对应思想，使之具有更加丰富的内涵。因而，此定义才真正可以称得上是函数的科学定义，为理论研究和实际应用提供了方便。狄利克雷还给出了著名的函数（人们称为狄利克雷函数），这个函数是难以用简单的包含自变量x的解析式表达的，但按照上述定义的确是一个函数。为使函数概念适用范围更加广泛，人们对函数定义作了如下补充：“函数y=f(x)的自变量，可以不必取[a，b]中的一切值，而可以仅取其任一部分”，换句话说就是x的取值可以是任意数集，这个集合中可以有有限个数、也可以有无限多个数，可以是连续的、也可以是离散的。这样就使函数成了一个非常广泛的概念。但是，自变量及函数仍然仅限于数的范围，而且也没有意识到“函数”应当指对应法则本身。函数概念的第五次扩张，提出了“近代函数定义”。出现了美国数学家维布伦的函数定义，这个定义是建立在重新定义变量、变域和常量的基础上的。所谓变量，是代表某集合中任意一个“元素”的记号，由变量所表示的任一元素，称为该变量的值。变量x代表的“元素”的集合，为该变量的变域，而常量是上述集合中只包含一个“元素”情况下的特殊变量。这样的变量与常量的定义，比原来的定义更趋一般化了，而且克服了以往变量定义的缺陷，变量“变动”改进为变量在变域（集合）中代表一个个元素。利用这一变量的定义，维布伦给出了近代函数定义：“设集合X、Y，如果X中每一个元素x都有Y中唯一确定的元素y与之对应，那么我们就把此对应叫做从集合X到集合Y的映射，记作f：X Y，y=f(x)”。映射的特殊情况，从数集到数集的映射就是前面狄利克雷的函数定义；从“数集”到“集”仅一字之差，但含意却大不相同。从而使函数概念摆脱了数的束缚，使得函数概念能广泛地应用于数学的各个分支及其它学科中。函数概念的第六次扩张，提出了“现代函数定义”。19世纪康托尔创建了集合论，函数概念进入了集合论的范畴，使函数概念纯粹地使用集合论语言进行定义。在这种情形下，函数、映射又归结为一种更为广泛的概念——关系。“设集合X、Y，定义X与Y的积集X Y如下：X Y＝{(x，y)|x X，y Y}。积集X Y中的一个子集R称为X与Y的一个关系，若(x，y) R，则称x与y有关系R，记为xR(y)；若(x，y) R，则称x与y无关系R。设 是x与y的关系，即 X Y，如果(x，y)、(x，z) ，必有y=z，那么称 为X到Y的映射或函数”。这就是现代的函数定义，它在形式上回避了“对应”术语，使用的全部是集合论的语言，一扫原来定义中关于“对应”的含义存在着的模糊性，而使函数念更为清晰、正确，应用范围更加广泛了。
