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新旧高中数学教学大纲对比分析及今后的发展走向 教育部今年五月新颁发的《全日制普通高级中学数学教学大纲》与原《全日制普通高级中学数学教学大纲（修订本）》相比变化很大。为贯彻落实《基础教育课程改革纲要(试行)》，配合从2003年起高考时间提前一个月的改革举措，教育部组织专家对普通高中课程计划进行调整，重新修订《全日制普通高级中学教学大纲(试验修订版)》，重新表述数学学科的教学目的，调整了课时。 本次大纲的修订，认真贯彻《基础教育课程改革纲要(试行)》的精神，体现新课程理念，突出创新精神和实践能力的培养，适当调整必修和选修内容的比例，增加了课程的选择性和弹性，删除了“繁、难、偏、旧”的内容，加强了方法、应用、探究等方面的内容。新大纲不再强调以学科为中心，不再把学科的完整性、严密性作为第一标准，而是强调与现实生活的联系，强调实际应用，强调与学生经验的联系，实践环节大大增加，注重创新能力的测试与评估，使培养学生创新精神和实践能力得到体现。 修订的重点是加强对学生创新能力和实践能力的培养，同时对教学内容作部分增加和删减、对教学要求也进行了调整。 现就新旧高中数学教学大纲的差异作一简要的对比分析如下: 一、前言与教学目的 1、 数学研究对象的范畴发生变化 旧大纲对数学研究对象的范畴是这样阐述的：“数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学”，新大纲则指出：“数学是研究空间形式和数量关系的科学”，两者相比，新大纲在数学研究对象的范畴上，比旧大纲少用“现实世界”四个字。可见新大纲对数学的研究对象做出了新的界定，这一变化体现了对数学研究对象的新认识。前者所言的数学研究对象是现实世界中存在的数与形的关系，而后者所言不仅是研究现实世界中的空间形式和数量关系。随着时代发展，对“数量”“空间”两概念做出了更广义的解释，数量不仅仅是实数、复数，还有向量、张量、集合中的元等；空间也不只限于二维空间、三维空间，还有n维空间、无穷维空间以及某些结构的抽象空间等，使超现实的形式与关系也正成为数学研究对象的一部分。 基于此，今天人们对数学这门科学的认识是： “数学能够处理数据、观测资料，进行计算、推理和证明，可提供自然现象、社会系统的数学模型。随着社会的发展，数学的应用越来越广泛”。新大纲较旧大纲在前言部分更清晰的阐述了数学的定义和广泛的应用，强调它具有“基础和特有的作用，是现代文化的组成部分”。进一步阐明高中数学课程在高中课程中的地位：“主要课程；基础；积极作用”。关于教学目的 （1）、对知识进行了界定。 旧大纲统称数学知识，新大纲则明确提出四大板块的数学知识：代数；几何；概率统计；微积分初步。基础知识不再局限于数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理，由此反映出来的数学基本技能及数学思想方法也界定在基础知识之中，它是显性知识中蕴含着的隐性知识。作为基础知识的学习，其思想方法的学习和掌握显得更为重要，这进一步体现数学的教育和文化价值。 （2）、对能力提法上有新的变化。 旧大纲提出四条能力培养的要求，依次是：运算能力，逻辑思维能力，空间想象能力，分析解决实际问题能力。而新大纲则提出几乎全新的六大能力培养的要求，依次是：提出问题、分析问题和解决问题的能力，数学探究能力、数学建模能力、数学交流能力，数学实践能力，数学思维能力，（包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学模式做出思考和判断）。新旧大纲相比，一是名称变化，将旧大纲中的“逻辑思维能力”去掉“逻辑”二字，改为“思维能力”。这一改动扩大了思维能力的范畴，把过去的运算能力，逻辑思维能力，空间想象能力合并为思维能力，提高了对思维能力的要求。二是扩大了能力培养的范畴，加大了能力培养的力度，进一步体现时代发展对人才的新要求。（3）对教学层次的阐释与界定 新大纲对数学科教学目的提出了三个层面的要求。第一层面为知识教育层面，依次是基础知识、基本技能、以及其中的数学思想方法；第二层面为学生数学素质培养教育层面，分别是六大能力和发展学生的创新意识和应用意识，能够对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断。第三层面为非智力品质培养教育层面，分别为激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心，形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，认识数学的科学价值和人文价值，从而进一步树立辩证唯物主义的世界观。（4）新增的教学目的与要求 1)、将“解决实际问题的能力…”作为教学目的纳入大纲。它以思维能力作为前提和基础，具体要求是“会提出、分析和解决带有实际意义或在相关学科、生产和生活中的数学问题；会用数学的语言表达问题，进行交流。” 为加强六大数学能力的培养，新大纲安排了四个实习作业，并在教学目标中，提出对各实习作业的教学要求。在教学中，强调要培养用数学的意识，即一方面应使学生通过背景材料，进行观察、比较、分析、综合、抽象和推理，得出数学概念和规律；另一方面使学生能够运用所学知识，将实际问题抽象成数学问题，建立数学模型，并加以解决。引导学生接触自然，了解社会，鼓励学生参加形式多样的实践活动。 2）、将“形成创新意识”写进教学目的，创新意识的培养贯穿于知识教学、能力培养的全过程，为加强创新意识的培养，新大纲增设“研究性课题”，要求每学期至少安排一个研究性课题，平均每个课题安排3个课时的教学时间。研究性课题主要是指对某些数学问题的深入探讨，或者从数学的角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究，在研究过程中以学生的自主性、探索性学习为基础，倡导从学生生活实际、生产实际自拟研究性课题。在研究性学习中，教师是组织者、参与者和指导者，要注意培养学生的科学精神和科学态度。 在教学中要激发学生学习数学的好奇心、求知欲，启发学生能发现和提出问题，善于独立思考和钻研问题，鼓励学生创造性地解决问题。 3）、将教学目标界定为了解、理解、掌握、灵活运用等四个层次，并对四个层次下了明确的定义。二、关于教学内容 新大纲在教学内容的确定和教学内容的安排或教学内容的结构，都有很大的变化。 1、教学内容的安排 （1）、不再划分学科。 新教材依新大纲规定，把多项内容综合编写为一门数学课程，即将精选出来的代数、几何的基础知识和概率统计、微积分的初步知识综合为一门数学课，不再分代数、几何、平面解析几何和微积分初步知识开设。综合为一门课有如下三方面好处：一是有利于精简教学内容，减少不必要的重复；二是有利于加强各部分知识间的相互联系；三是有利于数学思想方法的相互渗透。 （2）、课程的划分。 旧大纲将教学内容分为必学与选学内容两类，并作了相应的课时安排。新大纲中将课程划分为三种类型，即必修课，选修课I，选修课II。数学必修课的教学内容共12项，其中第9项又分（A）、（B）两种方案，分别在高一、高二学习，每周4课时，除复习考试时间外，总授课时数为254课时。选修课I授课时数为27课时（比试验修订版减少11课时），选修课II授课时数为54课时（比试验修订版减少24课时）。它们与必修课的内容一起作为相应科目的高考内容；同时新大纲还规定了研究性课题的教学时数，使研究性课题的教学时间得到了保证。 2、教学内容的结构调整 数学必修课的11项内容主要是代数、几何（包括立几和平面解析几何）和概率初步知识三部分，考虑到学科知识的系统性和学生的认知水平，将这三部分内容大致按照代数、几何和概率初步的顺序相对集中安排。集合与简易逻辑作为中学数学的基础和数学语言，安排在教材的首章。接下来第一部分是代数的内容，包括函数、数列、三角函数三章。因为数列可以看成以正整数为自变量的函数值的排列，与函数关系密切，内容又比较简单，所以将数列由原来在高二学习提前到高一。第二部分是几何的内容，包括直线和圆的方程，圆锥曲线方程，直线、平面和简单几何体三章，由于近年来反映立体几何教学效果不好，学生反映立体几何难学，所以本着先易后难，先平面后空间的顺序，先学习平面解析几何的两项内容，然后再学习空间图形部分。平面向量是属于几何的内容，它是连接代数与几何的结合点，为了便于应用，将这一项安排在代数与几何中间。第三部分为概率的内容，包括排列与组合、概率。排列、组合及二项式定理的内容可以作为概率的预备知识，与概率合并为一章。这样一方面可以控制和适当降低排列、组合内容的难度，同时又能更好地结合概率内容的学习。数学必修课本编成两册，共10章，每册5章，目录及课时安排如下： 数学 第一册（供一年级使用） 集合与简易逻辑（约14课时） 函数（约30课时） 数列（约12课时） 三角函数（约46课时） 平面向量（约12课时） 数学 第二册（供二年级使用） 不等式（约22课时） 直线和圆的方程（约22课时） 圆锥曲线（约18课时） 直线、平面和简单几何体（约36课时） 排列、组合、二项式定理（约18课时） 概率（约12课时） 12、研究性学习课题（约12课时） 数学选修内容，实际上是两部分：概率统计、微积分。复数是我国高中数学传统的教学内容，新大纲把它作为常识性知识只安排给选学水平Ⅱ的学生学习。概率统计、微积分初步知识是原来教材中的任选内容，增加到选修课里，一方面更新了内容、扩大了基础，有效地改变了我国中学数学课的“内容陈旧、知识面窄”的现状；另一方面也部分地解决了“一刀切”的课程结构，能够使不同需要和不同水平的学生学习到不同的数学课程。 数学选修课本编成两个分册，目录及其课时安排如下： 数学 第三册（水平Ⅱ） 1 概率与统计（约14课时） 极限（约12课时） 导数（约18课时） 数系的扩充--复数（约4课时） 研究性学习课题(约6课时) 数学 第三册（水平Ⅰ） 统计（约9课时） 导数（约15课时）。 研究性学习课题(约3课时) 3、新增加的教学内容。 新大纲在保证基础知识教学、基本技能训练、基本能力培养的前提下，增加了一些为进一步学习打基础的，有着广泛应用的，且又是学生能够接受的新知识。主要有简易逻辑、平面向量、线性规划、空间向量(9B)、概率统计、导数初步知识等六部分知识。 新大纲对教学内容的改革不仅体现在量的变化上，还体现在其质的方面。其一，新教材更新了传统内容的讲法和部分数学语言。如，广泛地使用集合语言、逻辑联结词、国家标准计量符号，注意使用数学语言表达问题，进行交流，形成用数学的意识。讲线面关系时，注意用语言符号、图形来表达问题等。新教材引进平面向量后，用向量处理某些传统内容，利用向量证明余弦定理等，既简捷又容易接受，可以改变使用综合法处理立体几何的传统讲法，可以利用空间向量讲解其性质定理，某些直线与平面、平面与平面的位置关系问题，颇具特色，从而使教材确实具有新意。其二，重视数学知识的应用是新大纲强调的重点之一，新教材在加强用数学的意识方面作了改进，把培养学生用数学的意识贯穿于教材的始终，注意把数学知识应用到相关学科和生活、生产实际中去，引导学生在解决实际问题过程中提高分析问题和解决问题的能力。一是在各章的章头图或阅读材料中提供有实际背景的问题。二是教材的正文一般都从实际引入概念，从实际提出问题，例题、习题中都增加了一些联系实际的内容。例如，把函数与增长率的变化相联系，数列中引入储蓄问题，而把圆锥曲线与行星、卫星运行轨道结合起来等等。三是与相邻学科相互配合，新教材中大量引用物理、化学等方面的例子作为知识背景，向量中的数量积借助物理学中功的定义来引入；在第九章多面体和正多面体的欧拉公式应用中，介绍了1996年获诺贝尔化学奖的三位科学家获奖原因是发现了C60，还给出C60的分子结构图。这样不仅增加教材内容的趣味性，使学生用联系的观点去看待问题，还强化学生分析与解决问题的意识，加强与其他学科知识之间的横向联系。四是按照新大纲的要求，教材在“函数”“平面向量”“概率与统计”内容中增加“实习作业”，目的是应用所学数学知识提高学生解决实际问题的能力，使学生在参与数学活动的过程中得到训练和提高。其三，更注重以学生为本。教材充分注意到学生主体在学习过程中的主动性和参与性，一是每章前都精心设计一个配有形象插图的、饶有趣味的序言。每个序言中都提出一个有很强现实生活背景的实际问题，并且只提出问题，未立即告知答案，给人一种悬念，激发学生的学习兴趣；另一方面在序言中告知本章知识的学习内容，让学生明确学习动机和目标，增加了学生学好本章内容的欲望。二是每章都安排一到两个通俗易懂的阅读材料，这对扩大学生知识面、提高学习兴趣、加深对所学知识的理解程度颇有益处。三是在每章的结束内容--“小结与复习”中，除“内容提要”还添加“学习要求和需要注意的问题”这一内容，帮助学生进行学习的评价、监控和调节。四是为适应不同层次学生的不同需要，每章的复习参考题均安排A、B两组习题，其中B组是供学有余力的学生选用。在习题中带有*号的题目，作为基本要求的拓宽，供学生选用。更突出的是将教学内容分为选修和必修，选修内容又分为选修Ⅰ、选修Ⅱ，让不同需求的学生学习不同的数学。五是新教材中较多地出现附注，几乎每讲解一个或几个例题便有附注，其目的是总结数学方法与思维规律，提高学生分析问题和解决问题的能力。 4、部分保留内容的结构发生变化。 （1）将集合、充要条件分离出来，与新增简易逻辑合并为一章。 （2）将极限内容分离出来，放在选修II教材中。 （3）将两点间距离公式，定比分点公式，中点公式和平移公式放在平面向量部分。 （4）将曲线与方程，圆等内容放在新大纲的直线和圆的部分。 （5）将参数方程放在相应的普通方程之后。 （6）将复数内容大幅删减后放在选修教材中。5、降低要求的教学内容。 （1）对反函数的要求由“掌握”降为“了解”;函数单调性概念由理解降为了解。 （2）均值不等式仅限于两个正数的；不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|由会用降为理解。 （3）将余切、正割、余割函数的定义由“掌握”降为“了解”；实际上，只要求了解三个函数的名称，而对函数的图象和性质以及有关的三角公式都不作要求。奇偶函数的定义与性质有理解降为了解。 （4）等差数列与等比数列的概念由掌握降为理解。 （5）“直线、平面、简单几何体”这一部分，有7处“掌握”级要求降为“了解”级要求，特别是论证方面，删去了“利用有关概念进行论证和解决有关的问题”的要求；将“三垂线定理及其逆定理”由“掌握”级降为“了解”级要求，淡化了几何论证的要求。 （6）椭圆、双曲线、抛物线的“几何性质”都改为“简单几何性质”，教学要求也作了相应的处理。 6、删减的教学内容。 新大纲在保证基础知识教学、基本技能训练、基本能力培养的前提下，删减了传统初等数学中次要的、较为陈旧的、用处不大的，而且学生接受起来有一定困难的内容。删减的内容主要有代数中的幂函数、指数方程、对数方程、一些三角恒等变形的公式、反三角函数、三角方程，立体几何中的棱台、圆台等。具体主要有： （1）幂函数的全部内容。 （2）对数的换底公式。 （3）指数方程和对数方程。 （4）三个正数的平均值定理。 （5）与余切、正割、余割有关的同角公式，正切与余切的诱导公式。 （6）半角公式、和差化积与积化和差公式。 （7）三角方程和反三角函数（只保留反三角函数符号和意义）。 （8）直线方程的斜截式和截距式。 (9)极坐标的有关内容。 （10）棱台、圆柱、圆锥、圆台的概念性质及计算。 （11）棱柱、棱锥的表面积和体积公式。 三、高中数学课程标准--课改进一步的发展走向简析。今年3月18日，《国家高中数学课程标准》制订组公布了制订《国家高中数学课程标准》的框架设想。2000年6月《高中数学课程标准》（以下简称《标准》）研制工作开始启动。研制组在教育部《基础教育课程改革指导纲要》等文件指导下，对相关的发达和发展中国家的数学课程标准进行比较研究，调查社会需求，认真分析国内高中数学课程实施现状以及高中生的数学学习心理，听取了数学界、教育界、数学教育界以及相关学科部分专家的意见，形成了包括制定《标准》的基本理念、课程的基本框架以及课程的主要内容的初步设想。把《标准》的框架设想与现行新大纲作一比较，又有以下一些新的、重要的变化 。 1、《标准》对数学的定义更为精辟： 《标准》指出：数学是研究空间形式和数量关系的科学，是研究模式与秩序的一门学科。 数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质。数学科学历来是自然科学和社会科学的基础，现在正在从幕后走向台前，在某些方面直接为社会创造价值，推动社会生产力的发展。越来越广泛的数学应用，正在不断地渗入社会生活的方方面面。数学在形成人类理性思维的过程中发挥着独特的、不可替代的作用，高度发展的数学思维成为人类社会进步的重要标志。 2、《标准》对数学的教学目的要求更为具体： （1）使学生具有必要的数学基础知识、基本技能以及其中所体现的数学思想方法，具有比较开阔的数学视野。 （2）提高学生空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸方面的能力。在此基础上培养学生学习新数学知识的能力， 数学的提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力；发展学生数学应用和创新意识。并希望能够上升为一种数学意识，自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式做出思考和判断。 （3）激发学生学习数学的兴趣， 使学生树立学好数学的信心。认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学思考的理性精神， 欣赏数学的美学魅力， 形成批判性的思维习惯，从而进一步树立辩证唯物主义世界观。 3、制订《标准》的理念更为全面、更富有时代性，共有十条： （1）高中数学课程应当具有基础性。 （2）高中数学课程应当具有多样性与选择性。 （3）有利于学生形成积极主动的学习方式。 （4）正确处理“打好基础”与“力求创新”的关系。 （5）提高学生的数学思维能力。 （6）反朴归真，注意适度的形式化。 （7）发展学生的数学应用意识。 （8）体现数学的人文价值。 （9）注意信息技术与数学课程内容的整合。 （10）建立合理、科学的评价机制。 4、模块化方式设计的课程更为合理适用： （1）新数学课程的基本框架如下图所示： 新课程框架共设计了必修课程、选修课程共12个知识模块，学生可根据个人发展的实际，选择学习最多10个、最少5个知识模块，取得最少12学分、最多22学分即可获得毕业证书并取得相关高校的报考资格。 （2）课程构成 （一）数学必修课 必修1：集合，基本初等函数，数列，算法概念。 必修2：圆与直线，解三角形，点线面关系，三视图与立体几何初步。 必修3：数据处理（统计的过程，随机现象与概率的概念） 数学建模，数学探究，数学文化贯穿于三个模块之中。 （二）选修课程 数学B1 ： 常用逻辑用语，不等式，平面向量，三角恒等变换。 数学B2： 向量空间与立体几何，解析几何（直线与二次曲线），导数及应用 。 数学B3：二阶矩阵与平面几何变换，计数原理与离散数学的范例，算法与软件。 数学C1 ：常用逻辑用语，不等式（与B1相同），解析几何（与B2相同，但不包括参数方程、极坐标），导数及应用。 数学C2 ：逻辑推理与证明，分类与计数原理，逻辑框图，公理化方法。 数学C3 ：数学在人文科学中的应用专题。 数据处理：离散随机变量与分布，四个典型统计模型。 （数学建模，数学探究，数学文化专题贯穿于上述模块之中。） 数学A : 由富有拓展性和挑战性的数学专题组成， 为对数学有较高要求的学生而设，着重数学探究能力的培养。 其中包括以下四类专题。 第一类：必修和选修内容直接扩展的专题。如摆线及其应用，欧拉多面体定理，各种计数问题等。 第二类：体现数学基本思想方法的专题。如连分数，逼近，中国剩余定理，决策与风险案例等。 第三类：应用类专题。如优选，统筹，正交表与试验设计，层次分析，数学软件使用等。 第四类：数学前沿介绍专题。如分形，混沌，编码与密码，纽结理论，P=NP算法复杂性等。 这4类专题的教学方式， 分别采取讲授为主、阅读为主、学生探究为主的三种类型， 注重培养学生独立思考、积极主动的学习方式。 数学与社会：内容包括数学在人类文明中的作用，数学与生活，数学与艺术等。 5、处理高中数学教学内容的新视角和新认识 在《标准》研制过程中，研制组对一些数学内容从新的视角进行了审视和处理。形成了以下的一些看法，作为制定《标准》时处理各部分内容的基础。 （1）课程要着重于数学的真正理解。 （2） 课程内容增加“数学建模”、“探究性课题”、“数学文化”三个板块，为学生提供更广阔的发展空间，也为改变学生的学习方式提供了素材。这是当前“研究性”学习的继续和发展。 （3）课程要反应信息时代对数学教育的推动。 （4）正式提出算法概念。 （5）以圆和直线为素材，使学生通过适当的几何证明，体验“由因导果”的综合法和“执果索因”的分析法的理性思维方式。 （6）将矩阵正式列入课程。 （7）立体几何教学，应当综合法和向量方法并重， 以向量法为主。建议遵循“直观感知--操作确认--思辩论证--度量计算”四个层次的认识过程展开。 （8）集合只作为语言使用。 （9）数列看作是函数的特例。 （10）重新认识不等式， 高中数学中不等式的内容包括两个方面：1）解不等式。其几何意义是确定区域，线性规划即基于此。2）认识恒不等式。恒不等式与恒等式一样，也是基本的数学关系。 （11）函数是高中数学的核心内容。各种初等函数的教学，重点在于“为各种数量变化提供数学模型”。 （12）微积分。重点是：用导数反映的变化率思想研究初等函数的性质。 （13）数据处理。高中数学基本课程中的概率统计内容的安排，应当是先统计，后概率，展开的线索应是：提出问题、收集数据、整理数据、解释数据、研究数据特征、做出统计判断。学生应当经历这样的全过程。 （14）概率统计。概率教学主要是培养随机观念。弄清随机变量的取值规律是用概率和分布刻画的，会用随机观点处理随机现象，知道统计结果是概率地呈现的，可能有误差。这样， 可使学生真正感受到确定性和随机性数学思维方法的本质区别。 （15）方程。高中阶段会遇到简单的无理方程、三角方程、指数方程但不展开。注意借助计算机和图象计算器，求得各种各样方程的近似解。了解二分法、迭代法也是需要的。6，我国高中数学课程改革思路 现行的课程方案包括课程计划和教学大纲两部分，教学大纲是对各学科教学进行规范的纲领性文件，其主要任务是指导教学工作的开展。因此，教学大纲不仅对教学目标和教学内容做出清晰明确的规定，而且还规定了知识点的具体要求及深度、难度指标。还规定了详细的教学顺序(有的甚至以章节或第几课的形式出现)，以及各部分内容分别占几课时等。这些对一线教师的教学有直接的指导作用，但由于规定的过于具体细致，不利于教师创造性地开展教学工作，尤其对教材的多样化发展没有留下足够的空间。 课程标准适应普及义务教育的要求，所提出的要求是基本的，是绝大多数学生经过努力能够达到的，而教学大纲规定了教材、教学和评价的最高要求，无论是教材、教学还是评价都不能突破这一上限，突破了则被视为超纲。由此可见，教学大纲对教材编写、教师教学和学业评价的影响是直接的、严格控制的、硬性的，而课程标准的重点是对国民素质的基本要求做出规定，它规 
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高中数学知识点总结对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。中元素各表示什么？注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。注意下列性质：（3）德摩根定律：你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）求函数的定义域有哪些常见类型？如何求复合函数的定义域？义域是_____________。求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）反函数的性质有哪些？①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？∴……）如何利用导数判断函数的单调性？值是（）A0B1C2D3∴a的最大值为3）函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。你熟悉周期函数的定义吗？函数，T是一个周期。）如：你掌握常用的图象变换了吗？注意如下“翻折”变换：你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？的双曲线。应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程②求闭区间［m，n］上的最值。③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。由图象记性质！（注意底数的限定！）利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？你在基本运算上常出现错误吗？如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）掌握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）如求下列函数的最值：你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？（x，y）作图象。在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？熟练掌握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：图象？熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？“奇”、“偶”指k取奇、偶数。A正值或负值B负值C非负值D正值熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）具体方法：（2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）用反三角函数表示角时要注意角的范围。不等式的性质有哪些？答案：C利用均值不等式：值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）证明：（按不等号方向放缩）不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）等差数列的定义与性质0的二次函数）项，即：等比数列的定义与性质你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？例如：（1）求差（商）法解：［练习］（2）叠乘法解：（3）等差型递推公式［练习］（4）等比型递推公式［练习］（5）倒数法你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。解：［练习］（2）错位相减法：（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。［练习］你知道储蓄、贷款问题吗？△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足p——贷款数，r——利率，n——还款期数解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不解排列与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）A24B15C12D10解析：可分成两类：（2）中间两个分数相等相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。∴共有5＋10＝15（种）情况二项式定理性质：（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第表示）你对随机事件之间的关系熟悉吗？的和（并）。（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。（6）对立事件（互逆事件）：（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。对某一事件概率的求法：分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。（1）从中任取2件都是次品；（2）从中任取5件恰有2件次品；（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”（4）从中依次取5件恰有2件次品。解析：∵一件一件抽取（有顺序）分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。要熟悉样本频率直方图的作法：（2）决定组距和组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）画频率直方图。如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量——既有大小又有方向的量。在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。（7）向量的加、减法如图：（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）的一组基底。（9）向量的坐标表示表示。平面向量的数量积数量积的几何意义：（2）数量积的运算法则［练习］答案：答案：2答案：线段的定比分点※你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线面平行的判定：线面平行的性质：三垂线定理（及逆定理）：线面垂直：面面垂直：三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）三类角的求法：①找出或作出有关的角。②证明其符合定义，并指出所求作的角。③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。［练习］（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。①求BD1和底面ABCD所成的角；②求异面直线BD1和AD所成的角；③求二面角C1—BD1—B1的大小。（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……）空间有几种距离？如何求距离？点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：（1）点C到面AB1C1的距离为___________；（2）点B到面ACB1的距离为____________；（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？正棱柱——底面为正多边形的直棱柱正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：它们各包含哪些元素？球有哪些性质？（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。积为（）答案：A熟记下列公式了吗？（2）直线方程：如何判断两直线平行、垂直？怎样判断直线l与圆C的位置关系？圆心到直线的距离与圆的半径比较。直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。怎样判断直线与圆锥曲线的位置？分清圆锥曲线的定义在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？如：通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。有关中点弦问题可考虑用“代点法”。答案：如何求解“对称”问题？（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。（直接法、定义法、转移法、参数法）对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。
《普通高中数学课程标准》中明确提出：“现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合(如把算法融入到数学课程的各个相应的部分)，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质，高中数学课程应提倡利用信息的技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计数器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计数器等进行探索和发现” 。 建构主义学习理论认为，知识是学习者在一定的情境即社会背景下，借助他人(包括教师和学习伙伴)的帮助，利用必要的学习资料，通过建构意义的方式而获得，网络化的教学环境使本理论的实施成为可能。数学教学的核心是培养思维能力。信息技术以其交互性强、运算速度快、图文音象并茂、及时反馈结果等优势为学生提供了发展自我思维能力的空间。 信息技术作用于课堂教学，自然会给教学带来一系列新变革，并使其呈现出不同于传统教学的新的教学特征。1993年，美国教育部组织了十多位资深的专家(如ans等)提出了一份题为《用教育技术支持教育改革》的报告，该报告为如何运用现代化信息技术进行教育改革提供了指导性的框架。报告提出了改革新教学的若干特征，从下表中可以看出在信息技术支持下的课程教学与传统教学之间的明显差别。 报告进一步指出，现代教育改革的核心是使学生变被动型学习为投入型学习(engaged learning)，让他们在真实的环境中学习并接受挑战性的学习任务。在教育中使用技术的根本目的是促进教学形态从被动型向投入型转。信息技术对提高高中数学课堂教学效率有如下作用： 一、利用信息技术为学生提供丰富的学习资源，激发学生数学学习兴趣，增强学生对数学与实际生活之间联系的理解 美国心理学家布鲁纳认为，“在学校教育教学中，所有教学计划在很大程度上将依赖于为达到教学目标而采用的教学媒体。”我们从听觉获得的知识能够记忆15%；从视觉获得的知识能够记忆25%；如果同时使用这两种传递知识的方式，就可以接受65%的知识。利用多媒体技术，教师在对数学教学内容进行分析、提取、重组和综合的基础上，创设丰富的数学教学情境，以计算机为中心采用多种信息传输手段，利用视、听两种传递方式，展现形象生动的画面，声像同步的情境，充分调动学生的多种感官，将数学内容中本质的、重要的信息多方位、多层次、多角度凸显出来，引导学生自己发现和探索，使学生在观察、理解、认识的基础上获取数学知识，掌握事物的本质。多媒体技术为创设数学情境提供了强有力的技术支持，为学生的创新意识和探索精神的培养提供了良好的环境，从而确保数学课堂教学的优化。 信息技术可以为学生提供丰富的学习资源，这些资源又有利于创设贴近生活的情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律例如在"二面角"的教学时，笔者给学生创设了这样的情境:人造卫星的轨道平面与赤道平面成一定的角度，修筑的水坝面与水平面成一定的角度，打开的六与门框所在的平面成一定的角度等等然后提出问题，二面角是怎样定义的学习兴趣，另一方面激发了学生的学习兴趣，另一方面也引发了他们的认知冲突学生通过讨论，探究得出二面角的定义，二面角的棱，二面角的面等定义紧接着又通过类似平面角的度量方法，可行的方法给予肯定，学生在内心深处迸射出一种想再尝试/再度引人注意的驱动力，因而接下来的课堂中学生主劝参与的热情就可想而知了 二、利用信息技术进行数学课堂教学，可以改变学生的学习方式，加强学生之间的数学交流 信息技术融入课堂教学，能进一步展示数学知识的发生、发展过程，展现思维过程。课堂教学模式将从以教师讲授为主转为以学生动脑动手、自主研究、小组学习讨论交流为主，信息技术可以把数学课堂转为“数学实验室"，学生通过自己的活动得出结论。学生可以利用计算机猜测和验证教材中呈现的数学结论。在“对数函数”的教学中，就可利用“几何画板”很好的探索对数函数的图象，学生之间也加强了对问题的探索与交流，使学生从心里真正的接受对数函数的图象正是教科书上所说。在”二次函数“的教学中让学生全面了解二次函数中的三个系数a，b，c对其图象的影响，可以在几何画板中任意输入不同的a，b，c，观察图象的变化，通过大量的演示结果，以及学生自主的探索，学生自己得出，a，b，c的值对二次函数图象的影响。例如，”椭圆“第一定义的教学，利用计算机借助数学教学软件-----几何画板来展示实验，效果很明显，整个教学过程一改过去听理论阐述，像是在做有趣的物理化学实验，极大地提高了课堂教学效率，成功地形成 了应有的数学思想与方法，而且调动了学生探求知识欲望，提高了知识的综合运用能力，充分发挥了以"学生"为中尽的主体作用 三、借助信息技术能够生动地演示数学的思维过程 有助于学生进行探索和发现，培养学生想像力，发展创造性思维 数学教学过程，实际上就是学生在教师的引导下，对数学问题的解决方法进行研究、探索的过程，继而对其进行延拓、创新的过程。于是，教师如何设计数学问题、选择数学问题就成为数学教学活动的关键。利用多媒体技术中图文并茂、综合处理的功能，可以使每一个枯燥无味的数学题目都变成演示实验，在讲解的基础上，对学生有选择地性加以演示比较，通过比较引导学生积极思考，培养学生的空间想象能力、创新演示比较，通过比较引导学生积极思考，培养学生的空间想象能力、创新思维能力、一题多解能力，最终达到灵活运用已学的知识来解决问题的目的。 人教版a，数学必修1第三章（函数的应用）中“函数与方程”的内容在教学中，仅老师说是讲不清楚的，必须结合信息技术来突破难点。我在教学中使用t1手持技术平台。 案例：数学必修1，函数与方程。 要求：根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。 分析：函数与方程的联系是本节的重点内容，这一联系的基础是函数的图象。正是信息技术在处理图象方面的优势使得该联系容易表现，也令二分法讲解得以直观地进行。同时二分法是一个很好的算法实例，可以在算法教学中借鉴。此处使用信息技术弱化数值计算从而突出其算法实质。 设计：以求方程：f（x）=x3 + x-l=0在[0，1]上的近似解为例。首先建立函数与方程的联系，作图象，让学生探索函数图象与x轴的交点大概在哪儿，能不能准确一点再准确一点。通过探索过程，让学生体会并归纳二分法的步骤。最后，学生动手用计算器实践求解过程。说明：这是一个不能离开技术支持的内容，除了作为学习计算工具这一作用外，信息技术还起着多元联系的作用。同时利用信息技术动态的特点，可以方便地呈现对分区间的过程中函数图象与x轴的交点情况，这种对图象的“zoom"操作在没有信息技术的条件下是不可能实现的。另外，由“准确一点再准确一点……”归纳步骤的过程正是算法形成的过程，虽然不提算法概念但其思想渗透其中，这对学生信息素质培养有很大的促进作用。 四、利用信息技术促使数学知识结构化 利用信息技术可方便地使学生从整体上掌握某个单元某一节的数学知识。例如：解析几何中椭圆、双曲线、抛物线都有一个刻划曲线形状的数值就是“离心率”。利用数学软件定义作出图形，将一线段的长度作为e值，用鼠标拖动线段一端点调整e的取值，即可看到相应的曲线变化，把圆锥曲线的变化规律淋漓尽致的展现出来，学生立刻就能理解明白。再如，知识总结，利用多媒体辅助教学，只需用powerpoint即可变为多媒体的超级链接结构形式，利用信息技术可以沟通各部分内容之间的有机联系，向量与三角，几何与代数的联系，导数与现实世界中存在的变化率的联系等等。讲解某内容时，可跳转到和该内容相关的任何知识点或网络资源，把不同阶段的数学知识组成一个有机的整体，教学效果就会大大提高。 五利用信息技术进行课堂教学，有助于巩固所学知识，提高课堂教学效果。 数学知识的掌握、思维能力的培养和智力的开发，不能单凭老师讲，更重要的是靠学生从练习中得来。练习是教学过程中学生实践的主要形式，要使学生所学的知识转化为技能就必须通过练习。教师能及时根据反馈，实现教学诊断，及时调整教学，使学生在课堂能及时消化、巩固和运用知识，掌握基本技能，提高课堂教学效率，减轻学生课外负担。利用信息技术编写的系统的、有针对性的练习，其练习效果非常之好，传统练习方法不可比拟。它的最大成功之处在于化学习被动为主动，化抽象为具体，通过带娱乐性的练习，能使学生轻松巩固已学知识。例如，在练习中编各种形式的选择题、填空题、是非题等，由电脑来判断学生解答的正确与否，根据练习的情况，给予必要的表扬鼓励或重复练习等。 综上所述，把信息技术作为辅助教学的工具，充分发挥信息技术在学生自主学习、主动探索、合作交流等优势，促使教师角色的转变。信息技术在数学教学中的作用不可低估，它在辅助学生认知的功能上要胜过以往的任何技术手段。努力创设信息化的数学教学情境，为数学课堂教学现代化开辟一条新路。
