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土方计算方法在实际的土方开挖过程中，常常需要根据土方的量来选择适合的开挖工具，所以土方量的初步估计显重要。下面就土方的测量和计算做简单的介绍。一、凸凹土方的计算对于土方凸凹的，我们不可能用微积分来计算，但是我们可以采用微积分的一些思想方法来计算，采用分割，求和的方式。用石灰线画出所需要挖方的区域，如果用石灰线划出一米宽的网格线，然后再测出每个网格点所需挖深的深度。如果以底面为参考平面，则深度即为高度，高度的求和就是所需挖方的土方量。选择一个最高点作为基点，然后打桩定点，设该点的高度为 ，也就是挖肯的深度，标杆定于基点，用水平仪测出每个网格点看基点标杆的高度，记作 ，在每一个网格里标出 。实质上 是该网格点与最高点的高度差。h0 H1 H2 H3 H4H5 H6 H7 H8 H9H10 H11 H13 H14 H15H16 H17 H18 H19 H20H21 H22 H23 H24 … 网格标高 总的土方量为所有的高度求和，如果打网格的长宽为A和B，则土方量为： （1）用V表示土方量，其中A和B表示网格的长宽。但在一般情况下A和B的值选择为1米。则上面的公式改写为： （2）其中H0为所选的基点网格的高度，需要注意的是Hi实际上是高度差，H0的值显然是0。 上面的方法直观易理解，但是在实际的计算过程中误差较大，如果要准确度高一点的，就要求网格密集到很小。但是实际施工过程工作量大。所以要寻求一个更为简便的施工方案，如果选择一个最深的点来代替表面平均深度，则： （3）当然，这种方法会造成计算的误差过大，所以可采用扩大A和B的方法来测量，减少画线次数，则应该在（3）加上网格因子A和B，则（3）式改写为: （4） 其中n为网格数目，其实在（1）中已经暗含这个用法了。如果AB的值不是每次的选择都等距，那么上面的公式应修改为： （5）如果改用另一种方案，用边长为Ai的正三角形代替，那么（5）改写为： （6） 同样的道理，用圆来代替正三角，则: （7）但是要注意的是，此时圆域的空隙需要修正，为了保证π参数的存在，那么放弃用补足的方法来求解，而采用极限求和的方法。 显然，在极限补足是，小圆的值应该极限到无穷小，而又因为捆绑在每个大圆上的值应该附带的小圆的面积值应该和大圆有的半径Ai有关，且附带值为切点个数乘以三分之一圆族面积的值。则对应的公式应该改写为 （8）Aij 的取值是第Ai的值所对应的取值，所以可由简单计算得到，且极限值是Ai的一个函数，显然这里可以得到一个准确度较高的值，但是运用的时候并不方便，因为这又要运用平面几何的性质，这势必会带来大量的运算，所以应该再次学习运用正方形补足的方法，如果这样这个方程又再次回到起点，但是j可以用近似值来代替，后面只要加一个修正值，则上面的公式可改写为： （9）但是 的确定困难，但是 的值与每一个AI的值一一对应，所以，在测量A的值的时就显得重要，采用简便的方法来计算就很重要。 测量A的时候，可以在所挖土方的表面选择一些特殊点，以点带面来处理。只要测出各点的H值，然后在测出各点的距离，距离的半值就是H的值， 的值可以近似的取Hi/10来的值来代替，那么上面的公式又可以改写为： （10） 显然，用上面的方法，由于有 的引入，所以测量的值的准确度会提高。二、面积的测量 在测量土地的面积的时候，如果采用网格法，计算的简单，直观，所以用这种网格法是一种很简单的有效方法。01 1 0 10 1 1 1 10 1 1 1 10 1 1 1 00 0 0 0 0只要用割补法，不足半个的记为0，超过半个的记为1，计算出总的格数，则面积就可以计算出来: （11） 其中A和B表示网格的长宽，n表示网格数。 如果采用这种方法来计算，会显得有繁琐，如果采用平面几何的方法，会使得测量的值准确度提高。（12） 显然，第二种方法只是适用于平面的土地，但是第一种方法适用曲面的土地，所以在计算曲面土地的时候要选择第一种方法。三、挡土墙土方计算 挡土墙的方量计算在现实施工过程中，测量的施工员常用的方法是用平均数方法，用上底加下底乘以高的平均数，实质上是上底与下底的平均值，但是，实际的挡土墙并不是标准的梯形，所以为提高准确度，有必要提出准确度高一点的方法。当然计算的方法是简单的几何处理。对于一般的挡土墙的截面图不是一个标准的梯形时，如图: 挡土墙的面积应该包含以上各个参数，面积为： （13）用上面的公式来计算挡土墙的土方量的时候还要知道挡土墙的长度： （14）但是在实际的挡土墙并非是严格的断面的平移，而是相似平移的结果，所以应该分段求和，则上面的公式应该修正为： （15）显而易见的是，上面公式的计算也不够准确，如果每一段的S值不想等，则应该将上面的公式重新修正为： （16）考虑到S是H的函数，令 ，又令x=D，当D的分段为无穷的时候，土方量应该改为： （17）此时的H和x的值是分割的，如果再一次测量中，有无穷多个的H值，那么，H的变化值应该是连续变化的，那么可以用一个连续的函数来拟合H为x的函数，即为： （18）对于H的函数，可以用测量点的D值，即x的量值来拟合。假设H（x）是一泰勒多项式： （19）如果在测量的时候，有n个x值和n个H值，则有： （20）显然，有n个这样的方程，即为： （21）上式也可以改写为：XA=H（22）其中X、A、H为对应量的矩阵。很显然，X是范德蒙行列式（Vandermonde），则： （23）利用拉格朗日（Lagrange）插值法，可以得到： （24）对于有N段的挡土墙，综合（24）和（17）的到： （25）四、锥形土方的计算 锥形土方的计算，就是用锥形的体积公式计算，但是，土方并不是规则的时候，土方的计算就显得有些困难，但是，这样几何体可以借助锥形体积公式来计算。 其土方量为： （26） 当所测量的土方有多个极大的最高点的时候，可以用底面积成高的三分之一计算。底面积的计算依然引用土方面积计算的第二种方法。而在每一个三角行内选择一个最高点Hi。 土方量为： （27）在对于非标准锥形的土方时，比如比较大的小山，或者沙堆时，显然用（26）式的计算会带来比较大的误差，所以，应该寻求准确度高的算法，一个方案是在山体上用石灰线打网格，仿照凸凹土方的计算方法计算，在隔一定距离Ai的线上，测第i条线上各出其高度Hj，然后运用利用拉格朗日（Lagrange）插值法进行曲线拟合，可以得到各Ai对应的曲线，然后积分求和，可得土方量。其对应的土方量就为Ai线上土方的和，得： （28） 其中的i表示第i条Ai的拟合曲线，j、k都代表在第i条曲线上测得的高度值，可表示为Hij或者Hik，Xi代表第i条曲线上的变分。 如果令在断面的纵向为Yz方向，则可以将（28）改写为： （29）五、双线插值法对土方的高的测量的时候，有时需要确定一个点的高度值，这样的问题可以转化为知道四个点的三个坐标值求其中一点的高度值。俯视图可以如下图表示。（30） 这里的Si显然是x、y的函数，所以，在后很多的数据地膜的点之后，利用双线插值发求出高程，则可以积分求和得到土方量： （31）六、棱台型几何体的土方 和锥体不同的是，棱台的型的土方常常是填方，所以这里单独提出，当然这里采用的方法是棱台的体积公式，并没有特别的，但是可以简化计算。（32）那么总土方量为： （33） 为了免除开方计算可以简化为： （34）六、坐标法求面积 坐标法面积的处理，不同于三角面积求和，这里单独以坐标发求面积为一个独立的方法。 在测量的一个不规则多变形的时候，先定一个坐标点为基点，则可以在坐标平面内把多变行画出来，用三角行的面积公式求和，既可以得到其面积表达式。 第i个三角形的面积为： （35）则总面积为： （36） 需要注意的是 。七、线性内插值法求高程 在知道一批坐标的数据的时候，要求一个确定点P（x，y）的标高的时候，因为总可以找到P点投影在O-XY内位于一个确定的三角行内，则可以用则可以选择这个三角行所在的空间平面来近似代替，求出这三个点所在的平面方程，带入P的坐标，就可以求出P点所对应的高程。 设A1A2A3三点所在平面的方程为： （37）将A1A2A3点的坐标值带入得： （38）令： （39） （40） （41）则（38）式可写为： （42） 解（42）式得： （43） 带入P点的横纵坐标值，既得到zP的值： （44） 八、加权平均数求高程 在已经知道的一个数据集合里，要求一点P的高程，运用线性内插值法求高程的方法并不是适用于大面积和准确度要求高的高程求解，为了提高准确度，可以选用加权平均数发求高程。 以P点为圆心，选择半径为R的一个圆域内的N个点，ZP的高都与N各点有关系，也就是N点的变化趋势决定了P点的高程，这时可以引入一个权值 来表征各点的决定程度。 一般说来， 的值表征i点对P的作用，由经验知道，i点越远，作用效果越小，那么可以把 看作i与P点的距离的函数，令距离为 。为了表征 与 的关系，可以看作 是 的负指数函数。 （45）那么： （46） 则Zp的值为： （47） K的值可以根据实际要求选择，可以是1~2之间的任意实数，K值的大小表示距离决定的大小，K越大决定性越小，也就是说，如果表面比较平缓，K值可以取一个较大的值，如果表面的变化大，则应该取一个接近1的值。土方的计算方法不一而足，还有很多好的方法，这里不再介绍。 
