zr_sgg
例谈椭圆与三角形相关问题解析几何与三角是高中数学的重要内容，两者结合能体现两主干知识的内在联系和知识之间的综合应用，而在知识网络交汇处设计的试题历来受命题者的青睐，在各级各类考试中频频出现，各省和全国高考卷对此也情有独钟本文就以椭圆和三角形相关问题作一归例谈解析粗;一、三角形边长问题例1设只、抓为椭圆兰十丝=1的两个焦点p为椭圆上一点已知尸、抓、几是一个直94角三角形的三个顶点，且}PF，l>IP不飞I，求里旦的值IP不’2l分析:利用定义，求出两焦半径即可将问题解决但根据直角的位置，分两种情解:(l)若乙尸凡式为直角，则}PFl}2二}PFz}2+l名FzI，，…}PF，}2=(6一IPF，l)’+20，得}PF，l=。。4}尸F，}7—，廿?21=一，…二二丁，=一33}件铆2(2)若乙FIPFz为直角，则IFIFzlz=IPFzlz+IPFI尸，…20:lPF}2+(6一}PF，l)’，得IPFI}=4，IPFI二2，故塑二!丹U本题还可以根据椭圆的对称性，求出P点的坐标:略解如下(l)若乙PFzFI为直角，P(二，力满足方程组。V了兰+竺=l’’“94拭吓，{)，·器7一2一一扩扩=(2)若乙乙PFz为直角尹(:，力满足方程组x2—十9丝=l4n13V污es1--1—终可亏!5/四l二}PFzl说明:本题的直角三角形直角的位置没有确定，要分类讨论，这点不注意就可能导致解题不全，其二是解题利用方程的思想髻撇鑫全、离心率问题例2已知脆椭圆兰+止=1(a>。>0)上一点只、兀是左右两焦点在△抓PF，中若矿乙2乙凡外飞二90“，求椭圆离心率的取值范围解法一:设P(x。，y0)，由椭圆的第二定义可得}PFll=a+ex0，}PFzl=a一:。，丫乙凡PFz=900，:}PF，lz+IPFz臼几月，，即az+e、;二2c，，则了鉴2c，，，:。·{粤，‘}·二〕卫二又因为0b>0)上一点了bzA、B是长轴的两个端点，如果椭圆上存在一点Q使得乙AQB=求椭圆的离心率。的取值范围翼纂l戴弃角形面积何题以椭圆为载体考查三角形面积问题，或以三角形面积为载体考查椭圆的问题是考试卷中经常出现的一类问题例32oo7浙江卷)如图，直线:二k:+b与椭圆吐十4户l交于A，B两点，记△AoB的面积为(I)求在k=O，0
递推公式斐波那契数列：0， 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：显然这是一个线性递推数列。通项公式(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。)注：此时 通项公式推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为： 解得 ， 则 ∵ ∴ 解得 方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）设常数 ， 使得则 ， 时，有……联立以上n-2个式子，得：∵ ，上式可化简得：那么……（这是一个以 为首项、以 为末项、 为公比的等比数列的各项的和）。， 的解为则方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）已知a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。解 ：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。得α+β=1。αβ=-1。构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。所以。an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。由式1，式2，可得。an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。方法四：母函数法。对于斐波那契数列{a(n)}，有a(1)=a(2)=1，a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>2时)令S(x)=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n+……。那么有S(x)*(1-x-x^2)=a(1)x+[a(2)-a(1)]x^2+……+[a(n)-a(n-1)-a(n-2)]x^n+……=因此S(x)=x/(1-x-x^2)不难证明1-x-x^2=-[x+(1+√5)/2][x+(1-√5)/2]=[1-(1-√5)/2*x][1-(1+√5)/2*x]因此S(x)=(1/√5)*{x/[1-(1+√5)/2*x]-x/[1-(1-√5)/2*x]}再利用展开式1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……+x^n+……于是就可以得S(x)=b(1)x+b(2)x^2+……+b(n)x^n+……其中b(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}因此可以得到a(n)=b(n)==(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
古代数学史： ①古希腊曾有人写过《几何学史》，未能流传下来。 ②5世纪普罗克洛斯对欧几里得《几何原本》第一卷的注文中还保留有一部分资料。 ③中世纪阿拉伯国家的一些传记作品和数学著作中，讲述到一些数学家的生平以及其他有关数学史的材料。 ④12世纪时，古希腊和中世纪阿拉伯数学书籍传入西欧。这些著作的翻译既是数学研究，也是对古典数学著作的整理和保存。 近代西欧各国的数学史： 是从18世纪，由J蒙蒂克拉、C博絮埃、AC克斯特纳同时开始，而以蒙蒂克拉1758年出版的《数学史》（1799～1802年又经Jde拉朗德增补）为代表。从19世纪末叶起，研究数学史的人逐渐增多，断代史和分科史的研究也逐渐展开，1945年以后，更有了新的发展。19世纪末叶以后的数学史研究可以分为下述几个方面。 ①通史研究 代表作可以举出MB康托尔的《数学史讲义》(4卷，1880～1908)以及CB博耶(1894、1919DE史密斯(2卷，1923～1925)、洛里亚（3卷，1929～1933）等人的著作。法国的布尔巴基学派写了一部数学史收入《数学原理》。以尤什凯维奇为代表的苏联学者和以弥永昌吉、伊东俊太郎为代表的日本学者也都有多卷本数学通史出版。1972年美国M克莱因所著《古今数学思想》一书，是70年代以来的一部佳作。 ②古希腊数学史 许多古希腊数学家的著作被译成现代文字，在这方面作出了成绩的有JL海贝格、胡尔奇、TL希思等人。洛里亚和希思还写出了古希腊数学通史。20世纪30年代起，著名的代数学家范·德·瓦尔登在古希腊数学史方面也作出成绩。60年代以来匈牙利的A萨博的工作则更为突出，他从哲学史出发论述了欧几里得公理体系的起源。 ③古埃及和巴比伦数学史 把巴比伦楔形文字泥板算书和古埃及纸草算书译成现代文字是艰难的工作。查斯和阿奇博尔德等人都译过纸草算书，而诺伊格鲍尔锲而不舍数十年对楔形文字泥板算书的研究则更为有名。他所著的《楔形文字数学史料研究》（1935、1937）、《楔形文字数学书》（与萨克斯合著，1945）都是这方面的权威性著作。他所著《古代精密科学》(1951)一书，汇集了半个世纪以来关于古埃及和巴比伦数学史研究成果。范·德·瓦尔登的《科学的觉醒》(1954)一书，则又加进古希腊数学史，成为古代世界数学史的权威性著作之一。 ④断代史和分科史研究 德国数学家（C）F克莱因著的《19世纪数学发展史讲义》(1926～1927)一书，是断代体近现代数学史研究的开始，它成书于20世纪，但其中所反映的对数学的看法却大都是19世纪的。直到1978年法国数学家J迪厄多内所写的《1700～1900数学史概论》出版之前，断代体数学史专著并不多，但却有（CH）H外尔写的《半个世纪的数学》之类的著名论文。对数学各分支的历史，从数论、概率论，直到流形概念、希尔伯特23个数学问题的历史等，有多种专著出现，而且不乏名家手笔。许多著名数学家参预数学史的研究，可能是基于（J-）H庞加莱的如下信念，即:“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状”，或是如H外尔所说的：“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立的和发展的概念方法和结果，我们就不可能理解近50年来数学的目标，也不可能理解它的成就。” ⑤历代数学家的传记以及他们的全集与《选集》的整理和出版 这是数学史研究的大量工作之一。此外还有多种《数学经典论著选读》出现，辑录了历代数学家成名之作的珍贵片断。 ⑥专业性学术杂志 最早出现于19世纪末，MB康托尔（1877～1913，30卷）和洛里亚（1898～1922，21卷）都曾主编过数学史杂志，最有名的是埃内斯特勒姆主编的《数学宝藏》（1884～1915，30卷）。现代则有国际科学史协会数学史分会主编的《国际数学史杂志》。 中国数学史： 中国以历史传统悠久而著称于世界，在历代正史的《律历志》“备数”条内常常论述到数学的作用和数学的历史。例如较早的《汉书·律历志》说数学是“推历、生律、 制器、 规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量，探赜索稳，钩深致远，莫不用焉”。《隋书·律历志》记述了圆周率计算的历史，记载了祖冲之的光辉成就。历代正史《列传》中，有时也给出了数学家的传记。正史的《经籍志》则记载有数学书目。 在中国古算书的序、跋中，经常出现数学史的内容。 如刘徽注《九章算术》序 (263)中曾谈到《九章算术》形成的历史；王孝通“上缉古算经表”中曾对刘徽、祖冲之等人的数学工作进行评论；祖颐为《四元玉鉴》所写的序文中讲述了由天元术发展成四元术的历史。宋刊本《数术记遗》之后附录有“算学源流”，这是中国，也是世界上最早用印刷术保存下来的数学史资料。程大位《算法统宗》(1592)书末附有“算经源流”，记录了宋明间的数学书目。 以上所述属于零散的片断资料，对中国古代数学史进行较为系统的整理和研究，则是在乾嘉学派的影响下，在清代中晚期进行的。主要有：①对古算书的整理和研究，《算经十书》(汉唐间算书)和宋元算书的校订、注释和出版，参预此项工作的有戴震(1724～1777)、李潢(?～1811)、阮元（1764～1849）、沈钦裴(1829年校算《四元玉鉴》)、罗士琳(1789～1853)等人 ②编辑出版了《畴人传》（数学家和天文学家的传记），它“肇自黄帝，迄于昭（清）代，凡为此学者，人为之传”，它是由阮元、李锐等编辑的(1795～1799)。其后，罗士琳作“补遗”(1840)，诸可宝作《畴人传三编》（1886），黄钟骏又作《畴人传四编》(1898)。《畴人传》，实际上就是一部人物传记体裁的数学史。收入人物多，资料丰富，评论允当，它完全可以和蒙蒂克拉的数学史相媲美。 利用现代数学概念，对中国数学史进行研究和整理，从而使中国数学史研究建立在现代科学方法之上的学科奠基人，是李俨和钱宝琮。他们都是从五四运动前后起，开始搜集古算书，进行考订、整理和开展研究工作的 经过半个多世纪，李俨的论文自编为《中算史论丛》(1～5集，1954～1955)，钱宝琮则有《钱宝琮科学史论文集》(1984)行世。从20世纪30年代起，两人都有通史性中国数学史专著出版，李俨有《中国算学史》(1937)、《中国数学大纲》（1958）；钱宝琮有《中国算学史》（上，1932）并主编了《中国数学史》(1964)。钱宝琮校点的《算经十书》(1963)和上述各种专著一道，都是权威性著作。 从19世纪末，即有人（伟烈亚力、赫师慎等）用外文发表中国数学史方面的文章。20世纪初日本人三上义夫的《数学在中国和日本的发展》以及50年代李约瑟在其巨著《中国科学技术史》(第三卷)中对中国数学史进行了全面的介绍。有一些中国的古典算书已经有日、英、法、俄、德等文字的译本。在英、美、日、俄、法、比利时等国都有人直接利用中国古典文献进行中国数学史的研究以及和其他国家和地区数学史的比较研究。
对数学应用意识的考察是高考数学命题的一个重要方面，要求学生能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将实际问题转化成数学问题，以及转化以后如何综合运用学科内知识解决数学问题。而三角函数的应用题考查也是高考命题的热点之一。由于导数为我们研究函数提供了一个新的方法，在导数和三角的交汇点处命题将是高考命题的一个方向。 以下通过几个例子来谈一谈。 例 如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为() （Ⅰ）试将水槽的最大流量表示成关于函数； （Ⅱ）求当多大时，水槽的最大流量最大 解析：（1）由题意其中。 （2）令 又因为，而在上递减，当=60时水槽的流量最大。 点评：导数为求函数的最值，单调性，极值等提供了新的方法，在解题的时候要注意这一方法的应用。随着高考命题改革的不断深入，高考命题强调知识之间的交叉、渗透和综合。从学科的整体高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，是命题的一种趋势，我们应当研究此类试题，掌握其解法，不断提高解题能力。 类题如图，矩形纸片的边24，25，点、分别在边与上现将纸片的右下角沿翻折，使得顶点翻折后的新位置恰好落在边上设，，关于的函数为，试求: (1)函数的解析式；(2)函数的定义域； (3)的最小值 解：(1)设，则 由于，， 则，即 而，， 所以，解得 故 (2)因为，故当点E与点A重合时， = 当点E向右运动时，BE长度变小，为保持点B1在边AD上，则点F要向上运动，从而BA的长度变大，则就变小，当点F与点C重合时， 取得最小值 又当点F与点C重合时，有，即，解之得 或(舍) 所以，又是锐角，所以 综上，函数的定义域为 (3)记，因为，所以函数上单调递减，则当时，取得最大值为 从而的最小值为 例 (2008江苏高考17)．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km， ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。（I）按下列要求写出函数关系式：设，将表示成的函数关系式；设，将表示成的函数关系式。（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。解析：（I）①由条件可知PQ垂直平分AB，，则故，又，所以。②，则，所以，所以所求的函数关系式为。选择函数模型①。 。令得，又，所以。当时，，是的减函数；时，，是的增函数。所以当时。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处。 点评：本题第二小问中若选用函数模型②则，令=0则 ，即，故当时三条排水管道总长度最短。本题能体现数学应用，关注社会生活。以污水处理为背景，体现试卷设计问题背景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。 类题 如图，是沿太湖南北方向道路，为太湖中观光岛屿， 为停车场，km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q，已知游船以km/h的速度沿方位角的方向行驶，．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方位角是，出租汽车的速度为66km/h．(Ⅰ)设，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；(Ⅱ)设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角，当角余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达．解：(Ⅰ) 如图，作，为垂足．，，，在△中， (km)， =(km)．在△中，(km) ．设游船从P到Q所用时间为h，游客甲从经到所用时间为h，小船的速度为 km/h，则 (h)， （h）． 由已知得：，，∴．∴小船的速度为km/h时，游客甲才能和游船同时到达． (Ⅱ)在△中，(km)，(km)．∴(km)． ∴＝．∵， ∴令得：．当时，；当时，．∵在上是减函数，∴当方位角满足时，t最小，即游客甲能按计划以最短时间到达．
