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《勾股定理的证明方法探究》 勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。 据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！ 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 勾股定理的证明：在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。 1．中国方法：画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是 a^2+b^2=c^2。 这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。 2．希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图。 容易看出， △ABA’ ≌△AA'C 。 过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。 △ABA’与正方形ACDA’同底等高，前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。 于是， S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC， 即 a2+b2=c2。 至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。 这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。 以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： ⑴ 全等形的面积相等； ⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。 这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。 我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法： 如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。 赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。 下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。 如图， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。 ② 比较以上二式，便得 a2+b2=c2。 这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。 在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ② 我们发现，把①、②两式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD）， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 a2+b2=c2。 这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法： 设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因为∠C=90°，所以cosC=0。所以 a2+b2=c2。 这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。 人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 总之，在勾股定理探索的道路上，我们走向了数学殿堂天啊，那么多的字啊。 
数学是人们生活劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力，抽象能力，想象力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想方法和语言是现代文明的重要组成部分。 义务教育阶段的数学课程是促进学生全面、持续、和谐的发展。作为小学数学教师，如何遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，如何让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，如何使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展，是教师最大的挑战。 新的数学教育基本现理念提倡：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。 国家科技发展，主要在于教育的发展，但是教育的发展课堂教学是主要环节，所以抓好课堂教学是提高教学质量的关键，如何加强课堂教学，提高教学质量呢？应该做到以下几点：一、准备阶段： 首先培养学生学习数学的愿望，做孩子的朋友，保护每个孩子抱着美好的愿望上学的积极性，关注每个孩子参加学习活动的热情，教学中教师的语言要亲切、和蔼、多鼓励学生，发现学生的闪光点。小学的启蒙教育非常重要，首先要使学生喜欢上课，喜欢老师，更喜欢数学，这就要求我们教师在启蒙阶段下一番苦功，教师巧妙地组织教学，给学生一个轻松、愉悦的学习氛围，比如我为了调整学生的课间疲劳，教学课堂中间放音乐、学生做健美操，让学生在课间得以放松。在教学中更重要的是培养学生良好的学习习惯，培养学生独立思考，敢于提问，认真倾听别人的意见，富于表达自己的想法，与他人合作等内在的学习品质。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者，引导者与合作者。二、实验阶段： 在教学中教师应创设生动有趣的学习情景，设计富有情趣的数学活动，鼓励每一个学生动口、动手、动脑参与数学的学习过程，通过儿童喜闻乐见的游戏、童话、故事、卡通等形式，丰富儿童的感性积累，发展儿童的数感和初步的空间观念，通过“说一说”，“做一做”、“数一数”、“比一比”等形式，让学生在活动中体验和学习数学。特别是对于一年级刚入学的孩子更应该根据他们的年龄特点，从儿童的生活角度出发，多安排儿童化的实践活动，即富有趣味性，又富有挑战性。如：我在教学中，注重方法、多样化，改变训练形式，由原来的一道题一道题地做，即浪费时间，学生又觉得枯燥无味，我改组同桌两人一组，一人报题，一个听算并报答案，再改成教师报题全班对答案，这样即提高学生的听算能力，又培养了学生的注意力。又如在练习中充分利用练习纸，纸上全是得数，教师报题，学生听，然后在纸上找到答案并划上圈，即节省时间，又给学生一种美感，为了防止定式影响，我设计每次划出得数的图案都不同。为了加大训练密度，又增加引用竞争机制，比赛夺红旗，这样大大地激发了学生学习的兴趣，不仅情景丰富，方法也多样化，同时也突出学生在学习中的主体地位。 在教学中，教师应注重学生的语言训练。首先教师要为人师表，从自己做起，做到课堂无废话，语言要风趣、幽默、简洁明了，能激发学生的学习兴趣。如从一年级有简短语言表示完整含义，可以同桌互相说，还可以小组讨论后由一人中心发言，还可以让学生独自训练，让学生自言自语。教师在语言训练的同时还要让学生多动手操作，让学生自己去体验、感悟、这样有利于学生个性的发展。数学的知识、思想和方法必须由学生在实践活动中理解和发展，即不是单纯地依赖教师的讲解去获得。因此教师在教学中应提供大量的观察、操作、实验及独立思考的机会，进而通过学生的讨论与交流，获得数字结论，为确立学生的主体地位创立良好的环境。所以动手实践、自主探索、交流反思是学生学习数学的重要方式。随着课程改革，对教师提出了更高的要求，教师要把教学当成一种事业来追求，把每一堂课都看成是发挥自己创造力、施展才华的机会，看成是发展自己一个机会，把上好一节课看成是自己生命价值的体现。
国庆节中的一天，我和爸爸吃完午饭玩24。从开始到结束一直是我赢，爸爸说：“你有什么技巧？”我说： “巧算24点”是一种数学游戏，游戏方式简单易学，能健脑益智，是一项极为有益的活动．巧算24点的游戏内容如下：一副牌中抽去大小王剩下52张，（如果初练也可只用1～10这40张牌）任意抽取4张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次，如抽出的牌是3、8、8、9，那么算式为（9—8）×8×3或3×8＋（9—8）或（9—8÷8）×3等． “算24点”作为一种扑克牌智力游戏，还应注意计算中的技巧问题．计算时，我们不可能把牌面上的4个数的不同组合形式——去试，更不能瞎碰乱凑．给你介绍几种常用的、便于学习掌握的方法：1．利用3×8＝24、4×6＝24求解．把牌面上的四个数想办法凑成3和8、4和6，再相乘求解．如3、3、6、10可组成（10—6÷3）×3＝24等．又如2、3、3、7可组成（7＋3—2）×3＝24等．实践证明，这种方法是利用率最大、命中率最高的一种方法． 2．利用0、11的运算特性求解．如3、4、4、8可组成3×8＋4—4＝24等．又如4、5、J、K可组成11×（5—4）＋13＝24等． 3．在有解的牌组中，用得最为广泛的是以下六种解法：（我们用a、b、c、d表示牌面上的四个数） ①(a—b）×（c＋d） 如（10—4）×（2＋2）＝24等． ②（a＋b）÷c×d 如（10＋2）÷2×4＝24等． ③（a－b÷c）×d 如（3—2÷2）×12＝24等． ④（a＋b－c）×d 如（9＋5—2）×2＝24等． ⑤a×b＋c—d 如11×3＋l—10＝24等． ⑥（a－b）×c＋d 如（4—l）×6＋6＝24等． 游戏时，同学们不妨按照上述方法试一试．需要说明的是：经计算机准确计算，一副牌（52张）中，任意抽取4张可有1820种不同组合，其中有458个牌组算不出24点，如A、A、A、5． 不难看出，“巧算24点”能极大限度地调动眼、脑、手、口、耳多种感官的协调活动，对于培养我们快捷的心算能力和反应能力很有帮助．” 爸爸说“真棒！我送你一个航模。” 看来，生活真离不开数学！
