liqiong_1984
应用题是小学数学教学中的重点和难点，特别是一些较复杂的应用题，由于数量关系较隐蔽，学生在解题 时很难找出正确的解题思路，会出现这样和那样的问题。因此，在应用题教学中，教师应教会学生运用已有数 学知识，大胆地想象，力求通过不同方法，从不同角度进行探索，培养发散性思维能力。为此应重视各种解题 思路的训练。 一、对应的思路训练 例1：一户农民养鸡240只，平均5只鸡6天要喂饲料5千克。 照这样计算这些鸡15天要喂饲料多少千克？ 写出题中的条件问题： 5只鸡 6天 5千克 240只鸡 15天 ？千克 从上面的对应关系可分析出两种方法： ①用归一法先求出1只鸡1天要喂的饲料，再求240只15 天所需的饲料。即 5÷5÷6×240×15＝540（千克） 答：240只鸡15天需饲料540千克。 ②每只鸡平均每天用的饲料是一定的，根据倍数关系， 只要求出240只是5只的几倍和15天是6天的几倍， 这个题就可迎刃而解了。 5×（240÷5）×（15÷6）＝540（千克）（答略） 二、数形结合看图分析训练 例2：修路队三天修了一段公路，第一天修40％，第二天修1／2，第三天修5千米。这段公路长多少千米 ？ 先分段画图： 附图{图} 再分析解答：把全段公路看做单位“1”，那么第三天修的5千米正好是全段公路的（1－40％－1／2）， 它和5相对应，所以全段公路长为： 5÷（1－40％－1／2）＝25（千米）（答略） 例3：有一桶油第一次取出2／5，第二次取出20千克， 桶里还剩28千克油。全桶油重多少千克？ 先分段画图： 附图{图} 把整桶油看作单位“1”， 从图中清楚地看出：后两次取出油的总和，正好是第一次取油后余下的部分， 即（1－2／5），它与（20 ＋28）相对应。 列式计算：（20＋28）÷（1－2／5）＝80（千克）（答略） 三、一题多解思路的训练 为培养学生的思维能力，引导学生探索解题思路，可对一道题的数量关系进行分析、对比，多角度、多层 次地沟通知识的内在联系。 例4：同学们参加野营活动， 一个同学到负责后勤的老师那里去领碗。老师问他领多少，他说领55个；又 问“多少人吃饭”，他说“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗”。算一算，这个同学给参加野营活 动的多少人领碗？ 解法一：一般解法 把饭碗数看作单位“1”，则菜碗数是1／2，汤碗数是1／3， 总碗数55与（1＋1／2＋1／3）相对应，根据 除法意义可求出饭碗数。 55÷（1＋1／2＋1／3）＝30（个） 根据题意，人数与饭碗数相同。（答略） 解法二：方程解法 设有x人参加野营活动，根据题意，饭碗数x个，菜碗数为x／2，汤碗数为x／3，列方程：x＋x／2＋x／3＝ 55，解得x＝30。（答略） 解法三：按比例分配解法 把饭碗数看作“1”，则 饭碗数∶菜碗数∶汤碗数 ＝1∶1／2∶1／3＝6∶3∶2 饭碗数是55×6／6＋3＋2＝30（个） 人数与碗数相同。（答略） 此题解法不只限于以上三种，还有其他解法，这里不再赘述。 四、转化性题组训练 有很多应用题题材不同，但数量关系相同，且解法完全一样。把这样一些应用题排在一起，有利于学生掌 握问题的实质，找出这类题的解题规律。 有下面一组题： （1）一项工程由甲工程队修建需12天，由乙工程队修建需要20 天。两队共同修建需要多少天？ （2）甲从东庄走到西庄需要2小时，乙从西庄走到东庄需要3 小时，如果甲、乙分别从东西庄同时相向出 发，需要经过几小时才能相遇？ （3）甲、乙两个童装厂合做一批出口童装，甲厂单独做要20 天完成，乙厂单独做要30天完成。两厂合做 多少天可以完成？ （4）有一水池装有甲、乙两个进水管。单开甲管需6分钟注满，单开乙管需4分钟注满，两管齐开需多少分 钟注满？ 分析：（1）设工程总量为单位“1”。 甲每天完成工程的1／12，乙每天完成1／20，甲乙合做一天完成工程的1／12＋1／20，完成全工程所需天 数为1÷（1／12＋1／20）。 （2）设东庄到西庄的路程为单位“1”。 甲、乙二人的速度分别是1／2和1／3，甲、乙每小时走完全程的（1／2＋1／3），两人相遇所需时间是1÷ （1／2＋1／3）。 （3）设这批童装的总量为单位“1”。 甲厂每天完成的工作量是1／20，乙厂每天完成1／30，两厂合做一天就完成总量的（1／20＋1／30），完 成工作后所需天数为1÷（1／20＋1／30）。 （4）设水池的容积为单位“1”。根据题意，甲管每分可注水1／6，乙管每分可注水1／4，甲、乙两管齐 开每分钟可注（1／6＋1／4），注满所需的时间是1÷（1／6＋1／4）。 通过以上的类比训练，可使学生弄清工程问题、相遇问题、工作问题、水管问题。虽然题材不同，但它们 数量关系相同。这就使知识间的联系在学生的头脑中形成。 各门科学的数学化 数学究竟是什么呢？我们说，数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学．它在现代生活和现代生产中的应用非常广泛，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具． 同其他科学一样，数学有着它的过去、现在和未来．我们认识它的过去，就是为了了解它的现在和未来．近代数学的发展异常迅速，近30多年来，数学新的理论已经超过了18、19世纪的理论的总和．预计未来的数学成就每“翻一番”要不了10年．所以在认识了数学的过去以后，大致领略一下数学的现在和未来，是很有好处的． 现代数学发展的一个明显趋势，就是各门科学都在经历着数学化的过程． 例如物理学，人们早就知道它与数学密不可分．在高等学校里，数学系的学生要学普通物理，物理系的学生要学高等数学，这也是尽人皆知的事实了． 又如化学，要用数学来定量研究化学反应．把参加反应的物质的浓度、温度等作为变量，用方程表示它们的变化规律，通过方程的“稳定解”来研究化学反应．这里不仅要应用基础数学，而且要应用“前沿上的”、“发展中的”数学． 再如生物学方面，要研究心脏跳动、血液循环、脉搏等周期性的运动．这种运动可以用方程组表示出来，通过寻求方程组的“周期解”，研究这种解的出现和保持，来掌握上述生物界的现象．这说明近年来生物学已经从定性研究发展到定量研究，也是要应用“发展中的”数学．这使得生物学获得了重大的成就． 谈到人口学，只用加减乘除是不够的．我们谈到人口增长，常说每年出生率多少，死亡率多少，那么是否从出生率减去死亡率，就是每年的人口增长率呢？不是的．事实上，人是不断地出生的，出生的多少又跟原来的基数有关系；死亡也是这样．这种情况在现代数学中叫做“动态”的，它不能只用简单的加减乘除来处理，而要用复杂的“微分方程”来描述．研究这样的问题，离不开方程、数据、函数曲线、计算机等，最后才能说清楚每家只生一个孩子如何，只生两个孩子又如何等等． 还有水利方面，要考虑海上风暴、水源污染、港口设计等，也是用方程描述这些问题再把数据放进计算机，求出它们的解来，然后与实际观察的结果对比验证，进而为实际服务．这里要用到很高深的数学． 谈到考试，同学们往往认为这是用来检查学生的学习质量的．其实考试手段（口试、笔试等等）以及试卷本身也是有质量高低之分的．现代的教育统计学、教育测量学，就是通过效度、难度、区分度、信度等数量指标来检测考试的质量．只有质量合格的考试才能有效地检测学生的学习质量． 至于文艺、体育，也无一不用到数学．我们从中央电视台的文艺大奖赛节目中看到，给一位演员计分时，往往先“去掉一个最高分”，再“去掉一个最低分”．然后就剩下的分数计算平均分，作为这位演员的得分．从统计学来说，“最高分”、“最低分”的可信度最低，因此把它们去掉．这一切都包含着数学道理． 我国著名的数学家关肇直先生说：“数学的发明创造有种种，我认为至少有三种：一种是解决了经典的难题，这是一种很了不起的工作；一种是提出新概念、新方法、新理论，其实在历史上起更大作用的、历史上著名的正是这种人；还有一种就是把原来的理论用在崭新的领域，这是从应用的角度有一个很大的发明创造．”我们在这里所说的，正是第三种发明创造．“这里繁花似锦，美不胜收，把数学和其他各门科学发展成综合科学的前程无限灿烂．” 正如华罗庚先生在1959年5月所说的，近100年来，数学发展突飞猛进，我们可以毫不夸张地用“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁等各个方面，无处不有数学”来概括数学的广泛应用．可以预见，科学越进步，应用数学的范围也就越大．一切科学研究在原则上都可以用数学来解决有关的问题．可以断言：只有现在还不会应用数学的部门，却绝对找不到原则上不能应用数学的领域． 
幸运的是， ？？杭州师范大学的基础上，2001年在原杭州师范学院，数学系，物理系成立。现有的数学系，物理系，的陈建功研究所（筹）科学与技术研究所（筹），遥感和地球科学。并与中国科学院应用数学，凝聚态物理研究所，研究所的科学教育研究机构。 ？？学校现有数学与应用数学，信息与计算机科学，物理学，应用物理学和科学教育五个本科专业，并正在加紧设置专业。学院有四个掌握基本的数学，应用数学，凝聚态物理，理论物理点报读课程与教学论硕士学位研究生（数学教育，物理教育），教育硕士在同一时间进行训练。数学与应用数学被列为第一批重点专业，基础数学，凝聚态物理被列为重点建设学科，凝聚态物理，杭州重中之重学科和省级重点学科，首批杭州。 ？？学院在校全日制本科生，研究生1000余人。教师和92名博士生导师，教授22名，副教授27，41博士学位。 4人，享受国务院特殊津贴，国家新世纪百千万人才，2名教师的教学，浙江省“151”人??才，省级青年和中年学术带头人，杭州市“131”人才，省优秀教师，省新秀的崇拜。 ？近年来，学院在数论，代数，计算数学函数理论，微分几何，概率与统计，本场凝聚态物理，理论物理研究建立动态研究团队。承担中国国家自然科学基金，教育部，中国博士后科学基金，省自然科学基金及其他国家，40多个省部级重点项目，已出版专着50余部，发表了超过700文章在国内外学术刊物，其中100多篇文章索引SCI，EI，百，浙江省自然科学优秀论文奖，省科学技术进步二等奖和省级教学成果奖80多个。学院在国内外学术交流，并建立了长期，稳定的合作关系与多所高校和研究机构的研究和教学，重点组织了第三次国际数学教育研讨会，聘请院士，知名学者讲学，浙江大学，山东大学联合培养博士研究生。 ？？学院坚持以人为本的教学理念，实施文理渗透，理工渗透渗透艺术，复合，应用型人才培养的质量，形成了“人文科学的课程体系互融的课程中国创业项目银奖，国家和课外胡荣能力系统的互操作性和关闭的校园金融体系的实践，教育和基础教育的见解成功的互动式教学的特点。全国大学生数学建模竞赛一，二等奖54红旗团支部国家奖。 ？？？？学院有一个完整的教学和研究设施，充分共享学校的网络系统，书籍和材料，以及其他各种教学资源，数学和物理角也已建成多媒体教室，在物理基础实验室信息安全实验室。 ？ 数学与应用数学（教师，本科，四年），省级重点专业，在第一批招生 文化目标德智体美全面发展的创新能力和实践能力，高品质的，能够适应基础教育的改革和发展基础教育教师，教学研究人员在科技，教育和经济部门从事研究或生产在实际应用中的研究开发和管理的高级人才和经营管理部门从事。 主要课程数学分析，高等代数，解析几何，复变函数，实变函数，泛函分析，常微分方程，近世代数，高等几何，概率与统计，ALGOL，数值分析，数论，微分几何，普通物理数学教育学，历史学，数学。 毕业于毕业生的下落，报考研究生应用基础数学，数学课程与教学论（数学），在各相关行业从事科研，教学和管理工作。 ？ 信息与计算科学（非师范，本科，四年） 文化目标德智体美全面发展的创新能力和实践能力，高品质，技术，教育，金融和经济部门从事研究，教学，应用开发和管理的高级人才。专业的学习信息科学和计算科学的基本理论，基本知识和基本方法，奠定了基础数学，扎实的计算机培训，最初在信息科学和计算机科学领域从事科学研究，解决实际问题和设计和软件开发的能力。 主要课程的基础和数学基础课（分析，代数，几何），概率统计，数学模型，科学计算，计算机图形学，物流和优化，电子线路，普通物理，计算机应用，C语言程序设计及其他高级编程语言的设计，算法和数据结构，软件系统的基础上离散数学，信息科学基础，计算机网络及应用程序，数据库应用，数据通信，保密性和安全性，信息安全和密码学。 毕业于毕业生可申请数学类信息类专业专业毕业的学生，??研究生和从事研究，教学和应用开发管理课程与教学论（数学，计算机）的下落。 ？ 物理学（师范，本科，四年） 人才培养目标与身体的全面发展，创新能力和实践能力，能够跟上发展的步伐，高质量的基础教育体育教师，教学研究人员及教育管理工作者。重点关注的物理基础知识的教学和教师教育，注重对实验的手的能力，利用现代计算机技术。 主要课程高等数学，数学物理，普通物理课程，理论物理课程，计算机编程，电气工程，模拟和数字电路和实验，教师教育课程，普通物理实验近代物理实验门20多个主要课程，开设了另一大学英语，计算机应用基础架构和10个公共技术基础课程和物理竞赛指导前沿讲座的物理，微控制器接口，计算机网络理论与技术等20多个专业选修。 毕业的学生，??毕业后可申请研究生的物理课，材料，和其他专业的研究生课程和教学（物理）的下落。可在各相关行业从事科研，教学和管理工作。 ？ 应用物理学（新能源方向，师范，本科，四年） 培养目标德智体美全面发展，具有扎实的物理基础，具有较强的创新能力和应用能力，并在太阳能自动控制的高级复合型人才的方向和该方向的基础研究和技术开发。使用太阳能，毕业后的应用研究，技术开发和管理，自动化控制领域从事物理应用，也可以到学校从事教学，科研和管理。 主要课程高等数学，普通物理课程和实验，太阳能光伏电池及其应用，新能源引进半导体物理与器件，工程制图与CAD，电气工程，电子与实验，自动化控制，微机原理及接口，计算机网络理论和技术，设计实验。 毕业于毕业生的下落，坐了一个物理类，能源类和控制类专业的研究生。从事科研，教学，应用开发和管理的高级人才。 ？ 科学教育（教师，本科，四年） 培训的目标和理想道德有文化有纪律，创新精神和实践能力的高质量的基础教育“科学”课程，教师，教学研究人员及教育管理工作者身体的全面发展。 主要课程高等数学，基础化学实验，基本的物理和实验，普通生物学实验，介绍物理地理，天文，计算机应用基础设施和技术基础，电机及电子工程和实验教师教育课程的科学教育，理论，科学历史，科学，传播学等专业课程，提高专业选修的主要科目，如物理，化学，生物，外语和计算机技能发展和培训的重点放在成立，注意学科的综合性和平衡，在为了适应新世纪基础教育和科学课程改革的需要。 毕业于坐的物理类化学类，生物学研究生的课程与教学论（物理，化学，生物，科学教育和方向）研究生毕业生的下落。从事研究，教学和管理工作有关的教育部门。
描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式，特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程就是所谓的数学物理方程。当然，几何学中的很多问题也是可以用偏微分方程来描述的。 人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。例如，18世纪初期及对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及和对流体力学、对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。 然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势： 一、在许多自然科学及工程技术中提出的问题的数学描述大多是非线性偏微分方程，即使一些线性偏微分方程作近似处理的问题，由于研究的深入，也必须重新考虑非线性效应。对非线性偏微分方程研究，难度大得多，然而对线性偏微分方程的已有结果，将提供很多有益的启示。 二、实践中的是由很多因素联合作用和相互影响的。所以其数学模型多是非线性偏微分方程组。如反应扩散方程组，流体力学方程组电磁流体力学方程组，辐射流体方程组等，在数学上称双曲－抛物方程组。 三、数学物理方程不再只是描述物理学、力学等工程过程的数学形式。而目前在化学、生物学、医学、农业、环保领域，甚至在经济等社会科学住房领域都不断提出一些非常重要的偏微分方程。 四、一个实际模型的数学描述，除了描述过程的方程（或方程）外，还应有定解条件（如初始条件及边值条件）。传统的描述，这些条件是线性的，逐点表示的。而现在提出的很多定解条件是非线性的，特别是非局部的。对非局部边值问题的研究是一个新的非常有意义的领域。 五、与数学其他分支的关系。例如几何学中提出了很多重要的非线性偏微分方程，如极小曲面方程，调和映照方程，方程等等。泛函分析、拓扑学及群论等现代工具在偏微分方程的理论研究中被广泛应用，例如空间为研究线性信非线性偏微分方程提供了强有力的框架和工具。广义函数的应用使得经典的线性微分方程理论更系统完善。再就是计算机的广泛应用，计算方法的快速发展，特别是有限元广泛 的应用，使得对偏微分方程的研究得以在实践中实现和检验。 用数学方法处理应用问题时，首先是要建立合理的数学模型，而很多情况下这种模型是偏微分方程。一个模型的建立是一个相当复杂的过程。讲授大纲与各章的基本要求第一章 波动方程教学要点：通过本章的教学使学生初步了解数理方程方法及特点，掌握方程的解法，及所表示的物理意义。1． 使学生了解波动方程的导出方法。2． 领会定解条件及意义。3． 熟练掌握初边值问题的分离变量法解方程。4． 能解高维波动方程的柯西问题。5． 明确波的传播与衰减的意义。6． 用能量不等式确定方程解的唯一性和稳定性。教学时数：20学时 教学内容：第一节 方程的导出、定解条件第二节 达朗贝尔公式、波的传播第三节 初边值问题的分离变量法第四节 高维波动方程的柯西问题第五节 波的传导与衰减 第六节 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性考核要求：第一节 方程的导出、定解条件 （领会与应用）第二节 达朗贝尔公式、波的传播 （领会）第三节 初边值问题的分离变量法 （领会与应用）第四节 高维波动方程的柯西问题 （领会与应用）第五节 波的传导与衰减 （领会）第六节 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性 （领会与应用）第二章 热传导方程教学要点： 通过本章的教学使学生初步了解通过物理原理建立热传导方程，能用分离变量法解初边值问题，用傅立叶变换对柯西问题求解，用极值原理确定定解问题解的唯一性和稳定性。教学时数：15学时教学内容：第一节 热传导方程及其定解问题的导出第二节 初边值问题的分离变量法第三节 柯西问题第四节 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 考核要求：第一节 热传导方程及其定解问题的导出 （领会）第二节 初边值问题的分离变量法 （领会与应用）第三节 柯西问题 （领会与应用）第四节 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 （领会与应用）第三章 调和方程教学要点：通过本章的教学使学生能够建立调和方程，明确定解条件，熟练掌握格林公式及其应用，了解格林函数，及用强极值原理判定第二边值问题解的唯一性。教学时数：15学时教学内容：第一节 建立方程、定解条件第二节 格林公式及其应用第三节 格林函数第四节 强极值原理、第二边值问题解的唯一性考核要求：第一节 建立方程、定解条件 （应用）第二节 格林公式及其应用 （领会与应用）第三节 格林函数 （领会）第四节 强极值原理、第二边值问题解的唯一性 （领会与应用）第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结教学要点: 通过本章的教学使学生初步掌握二阶线性方程的分类方法，二阶线性方程的特征理论，三类方程的特点。教学时数：12学时教学内容：第一节 二阶线性方程的分类 第二节 二阶线性方程的特征理论 第三节 三类方程的比较 考核要求：第一节 二阶线性方程的分类 （识记与领会）第二节 二阶线性方程的特征理论 （识记与领会）第三节 三类方程的比较 （识记与领会）第五章 积分论教学要点: 通过本章的教学使学生初步了解一阶偏微分方程组的概念及特征理论，明确两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题及定解问题，掌握二级数解法。教学时数：10学时教学内容：第一节 引言 一阶偏微分方程组的例子 一阶方程组与高阶方程的关系，第二节 两个自变量领子的一阶线性偏微分方程的特征理论 第三节 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 第四节 两个自变量的线性双曲型方程组的其它定解问题 第五节 二级数解法 (应用) 考核要求：第一节 引言 一阶偏微分方程组的例子 一阶方程组与高阶方程的关系，(领会)第二节 两个自变量领子的一阶线性偏微分方程的特征理论 (识记与领会)第三节 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 (识记与领会)第四节 两个自变量的线性双曲型方程组的其它定解问题 (识记与领会)三推荐教材和参考数目《数学物理方程》，谷超豪等编，第二版，高等教育出版社，20022．《数学物理方程》，吉洪诺夫等编，黄克顾译，第二版，高等教育出版社，19613．《数学物理方法》，南京工学院数学教研组编，高等教育出版社， 19824．《高等数学》，四川大学数学系编，第四版，人民教育出版社，1979
