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关于勾股定理 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理．这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580－公元前500）． 实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例．除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角．但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑．比如，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理．我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实．”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数．这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库． 证明方法： 先拿四个一样的直角三角形。拼入一个（a+b）的正方形中，中央米色正方形的面积：c2 。图（1）再改变三角形的位置就会看到两个米色的正方形，面积是（a2 ， b2）。图（2）四个三角形面积不变，所以结论是：a2 + b2 = c2 勾股定理的历史： 商高是公元前十一世纪的中国人当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期在中国古代大约是战国时期 西汉的数学著作 《周髀 算经》中记录着商高同周公的一段对话商高说:"…故折矩，勾广三，股修四 ，经隅五"商高那段话的意思就是说:当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长边)时，径 隅(就是弦)则为以后人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五"这就是著名的勾股定理 关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说:"故禹之所以治天下者，此数之所由生也""此数"指的是"勾 三股四弦五"，这句话的意思就是说:勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的 赵爽： •东汉末至三国时代吴国人 •为《周髀算经》作注，并著有《勾股圆方图说》 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识他用几何图形的截，割，拼，补来证明代数式之间的恒 等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数，形数统一，代数和几何紧密结合，互不可分的 独特风格树立了一个典范以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展例如稍后一点的刘徽在证明 勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是其中 体现出来的"形数统一"的思想方法，更具有科学创新的重大意义事实上，"形数统一"的思想方法正 是数学发展的一个极其重要的条件正如当代中国数学家吴文俊所说:"在中国的传统数学中，数量关系 与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思 想与方法在几百年停顿后的重现与继续" 中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话: 周公问:"我听说您对数学非常精通，我想请教一下:天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段 一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?" 商高回答说:"数的产生来源于对方和圆这些形体的认识其中有一条原理:当直角三角形'矩' 得到的一条直角边'勾'等于3，另一条直角边'股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是这 个原理是大禹在治水的时候就总结出来的。 
我们在初二已经学习过勾股定理。在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理。这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前 580～前 500年）。 实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。除我国在公元前 1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。比如说，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得证实。”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。 无论是古埃及人、古巴比伦人还是我们中国人谁最先发现了勾股定理，我们的先人在不同的时期、不同的地点发现的这同一性质，显然不仅仅是哪一个民族的私有财产而是我们全人类的共同财富。值得一提的是：在发现这一共同性质后的收获却是不完全相同的。下面以“毕达哥拉斯定理”和“勾股定理”为例，做一简单介绍： 一、毕达哥拉期定理 毕达哥拉斯是一个古希腊人的名宇。生于公元前6世纪的毕达哥拉斯，早年曾游历埃及、巴比伦（另一种说法是到过印度）等地，后来移居意大利半岛南部的克罗托内，并在那里组织了一个集政治、宗教、数学于一体的秘密团体——毕达哥拉斯学派，这个学派非常重视数学，企图用数来解释一切。他们宣称，数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于实用，而是为了探索自然的奥秘。他们对数学看法的一个重大贡献是有意识地承认并强调；数学上的东西如数和图形是思维的抽象，同实际事物或实际形象是截然不同的。有些原始文明社会中的人（如埃及人和巴比伦人）也知道把数脱离实物来思考，但他们对这种思考的抽象性质所达到的自觉认识程度，与毕达哥拉斯学派相比，是有相当差距的。而且在希腊人之前，几何思想是离不开实物的。例如，埃及人认为，直线就是拉紧的绳或田地的一条边；而矩形则是田地的边界。这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来。 正因为如此，毕达哥拉斯学派在他们的探索中，发现了既属于算术又属于几何的用三个整数表示直角三角形边长的公式：若2n+1，分别是两直角边，则斜边是 （不过这法则并不能把所有的整勾股数组表示出来）。也正是由于上述原因，这个学派通过对整勾股数的寻找和研究，发现了所谓的“不可通约量”——例如，等腰直角三角形斜边与一直角边之比即正方形对角线与其一边之比不能用整数之比表达。为此，他们把那些能用整数之比表达的比称做“可公度比”，意即相比两量可用公共度量单位量尽，而把不能这样表达的比称做“不可公度比”。像我们今日写成：l的比便是不可公度比。至于与1不能公度的证明也是毕达哥拉斯学派给出的。这个证明指出：若设等腰直角三角形斜边能与一直角边公度，那么，同一个数将既是奇数又是偶数。证明过程如下：设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为α：β，并设这个比已表达成最小整数之比。根据毕达哥拉斯定理，有。由于为偶数即为偶数，所以α必然也是偶数，因为任一奇数的平方必是奇数（任一奇数可表示为 2n+1，于是，这仍是一个奇数。但是α：β是既约的，因此，β必然不是偶数而是奇数，α既然是偶数，故可设α=2γ。于是。因此，，这里，是个偶数，于是β也是偶数，但是β同时又是个奇数，这就产生了矛盾。 关于对毕达哥拉斯定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”。其证明是用面积来进行的。
勾股定理论文：勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理．这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580－公元前500）．实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例．除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角．但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑．比如，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理．我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实．”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数．这说明，勾股定理实际上早已进入了人
