Raspa
论数学建模在经济学中的应用 【摘 要】当代西方经济认为，经济学的基本方法是分析经济变量之间的函数关系，建立经济模型，从中引申出经济原则和理论进行决策和预测。 【关键词】经济学 数学模型 应用 在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天，数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求，根据快速报价系统(根据厂家各种资源、产品工艺流程、生产成本及客户需求等数据进行数学经济建模)与客户进行商业谈判。 一、数学经济模型及其重要性 数学经济模型可以按变量的性质分成两类，即概率型和确定型。概率型的模型处理具有随机性情况的模型，确定型的模型则能基于一定的假设和法则，精确地对一种特定情况的结果做出判断。由于数学分支很多，加之相互交叉渗透，又派生出许多分支，所以一个给定的经济问题有时能用一种以上的数学方法去对它进行描述和解释。具体建立什么类型的模型，既要视问题而定，又要因人而异。要看自己比较熟悉精通哪门学科，充分发挥自己的特长。 数学并不能直接处理经济领域的客观情况。为了能用数学解决经济领域中的问题，就必须建立数学模型。数学建模是为了解决经济领域中的问题而作的一个抽象的、简化的结构的数学刻划。或者说，数学经济建模就是为了经济目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻划。而现代世界发展史证实其经济发展速度与数学经济建模的密切关系。数学经济建模促进经济学的发展;带来了现实的生产效率。在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天，数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求，根据快速报价系统与客户进行商业谈判。 二、构建经济数学模型的一般步骤 了解熟悉实际问题，以及与问题有关的背景知识。通过假设把所要研究的实际问题简化、抽象，明确模型中诸多的影响因素，用数量和参数来表示这些因素。运用数学知识和技巧来描述问题中变量参数之问的关系。一般情况下用数学表达式来表示，构架出一个初步的数学模型。然后，再通过不断地调整假设使建立的模型尽可能地接近实际，从而得到比较满意的结论。使用已知数据，观测数据或者实际问题的有关背景知识对所建模型中的参数给出估计值。运行所得到的模型。把模型的结果与实际观测进行分析比较。如果模型结果与实际情况基本一致，表明模型是符合实际问题的。我们可以将它用于对实际问题进一步的分析或者预测;如果模型的结果与实际观测不一致，不能将所得的模型应用于所研究的实际问题。此时需要回头检查模型的组建是否有问题。问题的假使是否恰当，是否忽略了不应该忽略的因素或者还保留着不应该保留的因素。并对模型进行必要的调整修正。重复前面的建模过程，直到建立出一个经检验符合实际问题的模型为止。一个较好的数学模型是从实际中得来，又能够应用到实际问题中去的。 三、应用实例 商品提价问题的数学模型: 问题 商场经营者即要考虑商品的销售额、销售量。同时也要考虑如何在短期内获得最大利润。这个问题与商场经营的商品的定价有直接关系。定价低、销售量大、但利润小;定价高、利润大但销售量减少。下面研究在销售总收入有限制的情况下商品的最高定价问题。 实例分析 某商场销售某种商品单价25元。每年可销售3万件。设该商品每件提价1元。销售量减少1万件。要使总销售收入不少于75万元。求该商品的最高提价。 解:设最高提价为X元。提价后的商品单价为(25+x)元 提价后的销售量为(30000-1000X/1)件 则(25+x)(30000-1000X/1)≥750000 (25+x)(30-x)≥750[摘要]本文从数学与经济学的关系出发，介绍了数学经济模型及其重要性，讨论了经济数学模型建立的一般步骤，分析了数学在经济学中应用的局限性，这对在研充经济学时有很好的借鉴作用。即提价最高不能超过5元。四、数学在经济学中应用的局限性 经济学不是数学，重要的是经济思想。数学只是一种分析工具数学作为工具和方法必须在经济理论的合理框架中才能真正发挥其应有作用，而不能将之替代经济学，在经济思想和理论的研究过程中，如果本末倒置，过度地依靠数学，不加限制地“数学化很可能阉割经济学的本质，以至损害经济思想，甚至会导致我们走入幻想，误入歧途。因为: 经济学不是数学概念和模型的简单汇集。不是去开拓数学前沿而是借助它来分析、解析经济现象，数学只是一种应用工具。经济学作为社会科学的分支学科，它是人类活动中有关经济现象和经济行为的理论。而人类活动受道德的、历史的、社会的、文化的、制度诸因素的影响，不可能像自然界一样是完全可以通过数学公式推导出来。把经济学变为系列抽象假定、复杂公式的科学。实际上忽视了经济学作为一门社会科学的特性，失去经济学作为社会科学的人文性和真正的科学性。 经济理论的发展要从自身独有的研究视角出发，去研究、分析现实经济活动内在的本质和规律。经济学中运用的任何数学方法，离不开一定的假设条件，它不是无条件地适用于任何场所，而是有条件适用于特定的领域在实际生活中社会的历史的心理的等非制度因素很可能被忽视而漏掉。这将会导致理论指导现实的失败。 数学计量分析方法只是执行经济理论方法的工具之一，而不是惟一的工具。经济学过分对数学的依赖会导致经济研究的资源误置和经济研究向度的单一化，从而不利于经济学的发展。 数学经济建模应用非常广泛，为决策者提供参考依据并对许多部门的具体工作进行指导，如节省开支，降低成本，提高利润等。尤其是对未来可以预测和估计，对促进科学技术和经济的蓬勃发展起了很大的推动作用。但目前尚没有一个具有普遍意义的建模方法和技巧。这既是我们今后应该努力发展的方向，又是我们不可推卸的责任。因此，我们要以自己的辛勤劳动，多实践、多体会，使数学经济建模为我国经济腾飞作出应有的贡献。 参考文献: [1]孙红伟商场经营管理中的几个数学模型分析[J]商场现代化，2006，(8) 
2．通过几何、三角形测量问题和列方程解应用题的教学渗透数学建模的思想与思维过程。 学习几何、三角的测量问题，使学生多方面全方位地感受数学建模思想，让学生认识更多现在数学模型，巩固数学建模思维过程、教学中对学生展示建模的如下过程： 现实原型问 题 数学模型 数学抽象 简化原则 演算推理 现实原型问题的解 数学模型的解 反映性原则 返回解释 列方程解应用题体现了在数学建模思维过程，要据所掌握的信息和背景材料，对问题加以变形，使其简单化，以利于解答的思想。且解题过程中重要的步骤是据题意更出方程，从而使学生明白，数学建模过程的重点及难点就是据实际问题特点，通过观察、类比、归纳、分析、概括等基本思想，联想现成的数学模型或变换问题构造新的数学模型来解决问题。如利息（复利）的数列模型、利润计算的方程模型决策问题的函数模型以及不等式模型等。 3．结合各章研究性课题的学习，培养学生建立数学模型的能力，拓展数学建模形式的多样性式与活泼性。 高中新大纲要求每学期至少安排一个研究性课题，就是为了培养学生的数学建模能力，如“数列”章中的“分期付款问题”、“平面向是‘章中’向量在物理中的应用”等，同时，还可设计类似利润调查、洽谈、采购、销售等问题。设计了如下研究性问题。 例1根据下表给出的数据资料，确定该国人口增长规律，预测该国2000年的人口数。 时间(年份) 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 人中数(百万) 39 50 63 76 92 106 123 132 145 分析：这是一个确定人口增长模型的问题，为使问题简化，应作如下假设：（1）该国的政治、经济、社会环境稳定；（2）该国的人口增长数由人口的生育，死亡引起；（3）人口数量化是连续的。基于上述假设，我们认为人口数量是时间函数。建模思路是根据给出的数据资料绘出散点图，然后寻找一条直线或曲线，使它们尽可能与这些散点吻合，该直线或曲线就被认为近似地描述了该国人口增长规律，从而进一步作出预测。 通过上题的研究，既复习巩固了函数知识更培养了学生的数学建模能力和实践能力及创新意识。在日常教学中注意训练学生用数学模型来解决现实生活问题；培养学生做生活的有心人及生活中“数”意识和观察实践能力，如记住一些常用及常见的数据，如：人行车、自行车的速度，自己的身高、体重等。利用学校条件，组织学生到操场进行实习活动，活动一结束，就回课堂把实际问题化成相应的数学模型来解决。如：推铅球的角度与距离关系；全班同学手拉手围成矩形圈，怎样围使围成的面积最大等，用砖块搭成多米诺牌骨等。 四、培养学生的其他能力，完善数学建模思想。 由于数学模型这一思想方法几乎贯穿于整个中小学数学学习过程之中，小学解算术运用题中学建立函数表达式及解析几何里的轨迹方程等都孕育着数学模型的思想方法，熟练掌握和运用这种方法，是培养学生运用数学分析问题、解决问题能力的关键，我认为这就要求培养学生以下几点能力，才能更好的完善数学建模思想： （1）理解实际问题的能力； （2）洞察能力，即关于抓住系统要点的能力； （3）抽象分析问题的能力； （4）“翻译”能力，即把经过一生抽象、简化的实际问题用数学的语文符号表达出来，形成数学模型的能力和对应用数学方法进行推演或计算得到注结果能自然语言表达出来的能力； （5）运用数学知识的能力； （6）通过实际加以检验的能力。 只有各方面能力加强了，才能对一些知识触类旁通，举一反三，化繁为简，如下例就要用到各种能力，才能顺利解出。 例2：解方程组 x+y+z=1 (1) x2+y2+z2=1/3 (2) x3+y3+z3=1/9 (3) 分析：本题若用常规解法求相当繁难，仔细观察题设条件，挖掘隐含信息，联想各种知识，即可构造各种等价数学模型解之。 方程模型：方程（1）表示三根之和由（1）（2）不难得到两两之积的和（XY+YZ+ZX）=1/3，再由（3）又可将三根之积（XYZ=1/27），由韦达定理，可构造一个一元三次方程模型。（4）x，y，z 恰好是其三个根 t3-t2+1/3t-1/27=0 (4) 函数模型： 由（1）（2）知若以xz(x+y+z)为一次项系数，（x2+y2+z2）为常数项，则以3＝（12＋12＋12）为二次项系数的二次函f(x)=(12+12+12)t2-2(x+y+z)t+(x2+y2+z2)=(t-x)2+(t-y)2+(t-z)2为完全平方函数3(t-1/3)2，从而有t-x=t-y=t-z，而x=y=z再由(1)得x=y=z=1/3，也适合（3） 平面解析模型 方程（1）（2）有实数解的充要条件是直线x+y=1-z与圆x2+y2=1/3-z2有公共点后者有公共点的充要条件是圆心(O、O)到直线x+y的距离不大于半径。 总之，只要教师在教学中通过自学出现的实际的问题，根据当地及学生的实际，使数学知识与生活、生产实际联系起来，就能增强学生应用数学模型解决实际问题的意识，从而提高学生的创新意识与实践能力。 数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。 一、数学应用题的特点 我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点： 第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题；与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题；与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。 第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。 第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。 第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须依靠真实的能力来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的发展空间和潜力。
数学建模论文 题 目 生活中的数学建模问题 学 院 专业班级 学生姓名 成 绩 年 月 日 摘要 钢铁、煤炭、水电等生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送 方案使利润最大？各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等的限制，如何相互搭配装载，使获利最高？若干项任务分给一些候选人来完成，因为每个人的专长不同，他们完成任务的效益就不一样，如何分派使获得的总效益最大？本文将通过以下的例子讨论用数学建模解决这些问题的方法。 关键词：获利最多，0-1变量 一． 自来水输送问题 问题 某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A，B，C三个水库供应。四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为80，50，10，20千吨，但由于水源紧张，三个水库每天 只能分别供应60，70，40千吨自来水。由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费用不同（见下表），其他管理费用都是400元每千吨。根据公司规定，各区用户按照统一标准950元每千吨收费。此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为10，20，30，50千吨。该公司应如何分配供水量，才能获利更多？ 引水管理费（元每千吨） 甲 乙 丙 丁 A 160 130 220 170 B 140 130 190 150 C 190 200 230 ---- 问题分析 分配供水两就是安排从三个水库向四个区供水的方案，目标是获利最多，而从题目给出的数据看，A，B，C三个水可的供水量170千吨，不够四个区的基本生活用水量与额外用水量之和270千吨，因而总能全部卖出并获利，于是自来水公司每天的总收入是950*（60+70+40）=161500元，与送水方案无关。同样，公司每天的其他管理费为400*（60+70+40）=68000元也与送水方案无关。所以要是利润最大，只须是引水管理费最小即可。另外，送水方案自然要受三个水可的供水量和四个取得需求量的限制。 模型建立 决策变量为A、B、C、三个水库（i=1，2，3）分别向甲、乙、丙、丁四个小区（j=1，2，3，4）的供水量。设水库i向j的日供水量为xij。由于C水库鱼定去之间没有输水管道，即X34=0，因此只有11个决策变量。 由上分析，问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少，于是有 min=160*x11+130*x12+220*x13+170*x14+140*x21+130*x22+190*x23+150*x24+190*x31+200*x32+230*x33; 约束条件有两类：一类是水库的供应量限制，另一类是各区的需求量限制。由于供水量总能卖出并获利，水库的供应量限制可以表示为 x11+x12+x13+x14=60; x21+x22+x23+x24=70; x31+x32+x33=40; 考虑到歌曲的基本用水量月外用水量，需求量限制可以表示为 80<=x21+x11+x31; 50<=x12+x22+x32; 10<=x13+x23+x33; 20<=x14+x24; x21+x11+x31<=90; x12+x22+x32<=70; x13+x23+x33<=40; x14+x24<=70; 模型求解 将以上式子，输入LINGO求解，得到如下输出： Optimal solution found at step: 10 Objective value: 00 Variable Value Reduced Cost X11 0000000 00000 X12 00000 0000000 X13 0000000 00000 X14 0000000 00000 X21 00000 0000000 X22 0000000 0000000 X23 0000000 00000 X24 00000 0000000 X31 00000 0000000 X32 0000000 00000 X33 00000 0000000 送水方案为：A水库向乙区供水60千吨，B水库甲区、丁区分别供水50，20千吨，C水库向甲、丙分别供水30，10千吨。引水管理费为25800元，利润为161500-68000-25800=67700元。 二． 货机装运 问题 某架火机油三个货舱：前舱、中舱、后舱。三个货舱所能装载的货物最大量的体积都有限，如下表所示，并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中世纪装在货物的重量必须与其最大容许重量成比例。 前舱 中舱 后舱 重量限制（吨） 15 26 12 体积限制（立方米） 8000 9000 6000 现有四类货物供该伙计本次飞行装运，其有关信息如下表所示，最后一列之装运后所获得的利润。应如何安排装运，使货机本次飞行获利最大？ 重量（吨） 空间 利润（元每千吨） 货物1 20 480 3500 货物2 18 650 4000 货物3 35 600 3500 货物4 15 390 3000 模型假设 问题中没有对货物装运提出其他要求，我们可以作如下假设： （1） 每种货物可以分割到任意小； （2） 每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布； （3） 多种货物可以混装，并保证不留空隙。 模型建立 决策变量：用Xij表示第i种货物装入第j个货舱的重量（吨），货舱j=1，2，3分别表示前舱、中舱、后舱。 决策目标是最大化利润，即 max=3500*(x11+x12+x13)+4000*(x21+x22+x23)+3500*(x31+x32+x33)+3000*(x41+x42+x43); 约束条件包括以下4个方面： （1）供装载的四种货物的总重量约束，即 x11+x12+x13<=20; x21+x22+x23<=18; x31+x32+x33<=35; x41+x42+x43<=15; （2）三个货舱的重量限制，即 x11+x21+x31+x41<=15; x12+x22+x32+x42<=26; x13+x23+x33+x43<=12; （3）三个货舱的空间限制，即 480*x11+650*x21+600*x31+390*x41<=8000; 480*x12+650*x22+600*x32+390*x42<=9000; 480*x13+650*x23+600*x33+390*x43<=6000; （4）三个货舱装入重量的平衡约束，即 (x11+x21+x31+x41)/15=(x12+x22+x32+x42)/26; (x12+x22+x32+x42)/26=(x13+x23+x33+x43)/12; 模型求解 将以上模型输入LINGO求解，可以得到： Optimal solution found at step: 10 Objective value: 1 Variable Value Reduced Cost X11 5055147 0000000 X12 562500 0000000 X13 286953 0000000 X21 93439 0000000 X22 0000000 843 X23 065611 0000000 X31 0000000 4547474E-12 X32 0000000 654 X33 599359 0000000 X41 0000000 740 X42 00000 0000000 X43 0000000 740 实际上，不妨将所得最优解四舍五入，结果为货物1装入前舱1吨、装入中舱7吨、装入后舱2吨；货物2装入前舱12吨、后舱6吨；货物3装入后舱2吨；货物4装入中舱15吨。最大利润为155340元。 三． 混合泳接力队的选拔 问题 某班准备从5名游泳队员中选择4人组成接力队，参加学校的4*100m混合泳接力比赛。5名队员4中用字的百米平均成绩如下表所示，问应如何让选拔队员组成接力队？ 甲 乙 丙 丁 戊 蝶泳 1`06 57``2 1`18 1`10 1`07 仰泳 1`15 1`06 1`07 1`14 1`11 蛙泳 1`27 1`06 1`24 1`09 1`23 自由泳 58``6 53`` 59``4 57``2 1`02 问题分析 从5名队员中选出4人组成接力队，没人一种泳姿，且4人的用字各不相同，是接力队的成绩最好。容易想到的一个办法是穷举法，组成接力对的方案共有5！=120中，一一计算并作比较，即可找出最优方案。显然这不是解决这类问题的好办法，随着问题规模的变大，穷举法的计算量将是无法接受的。 可以用0-1变量表示以讴歌队员是非入选接力队，从而建立这个问题的0-1规划模型，借助县城的数学软件求解。 模型的建立与求解 设甲乙丙丁戊分别为队员i=1，2，3，4，5；即蝶泳、仰泳、蛙泳、自由泳分别为泳姿j=1，2，3，记队员i的第j中用字的百米最好成绩为Cij（s），既有 Cij I=1 I=2 I=3 I=4 I=5 J=1 66 2 78 70 67 J=2 75 66 67 74 71 J=3 87 66 84 69 83 J=4 58 53 59 2 62 引入0-1变量Xij，若选择队员i参加泳姿j的比赛，记Xij-=1，否则记Xij=根据组成接力队的要求，Xij应该满足两个约束条件： 第一， 没人最多只能入选4中用字之一，记对于i=1，2，3，4，5，应有∑Xij《=1； 第二， 每种泳姿必须有一人而且只能有1人入选，记对于甲，2，3，4，应有∑Xij=1； 当队员i入选泳姿j是，CijXij表示他的成绩，否则CijXij=0。于是接力队的成绩可表示为∑∑CijXij，这就是该题的目标函数。 将题目所给的数据带入这一模型，并输入LINGO： min=66*x11+75*x12+87*x13+6*x14+2*x21+66*x22+66*x23+53*x24+78*x31+67*x32+84*x33+4*x34+70*x41+74*x42+69*x43+2*x44+67*x51+71*x52+83*x53+62*x54; SUBJECT TO x11+x12+x13+x14<=1; x21+x22+x23+x24<=1; x31+x32+x33+x34<=1; x41+x42+x43+x44<=1; x11+x21+x31+x41+x51=1; x12+x22+x32+x42+x52=1; x13+x23+x33+x43+X53=1; x14+x24+x34+x44+X54=1; @bin(X11);@bin(X12);@bin(X13);@bin(X14);@bin(X21);@bin(X22);@bin(X23);@bin(X24);@bin(X31);@bin(X32);@bin(X33);@bin(X34);@bin(X41);@bin(X42);@bin(X43);@bin(X44);@bin(X51);@bin(X52);@bin(X53);@bin(X54); 得到如下结果 Optimal solution found at step: 12 Objective value: 8000 Branch count: 0 Variable Value Reduced Cost X11 0000000 00000 X12 0000000 00000 X13 0000000 00000 X14 000000 60000 X21 000000 20000 X22 0000000 00000 X23 0000000 00000 X24 0000000 00000 X31 0000000 00000 X32 000000 00000 X33 0000000 00000 X34 0000000 40000 X41 0000000 00000 X42 0000000 00000 X43 000000 00000 X44 0000000 20000 X51 0000000 00000 X52 0000000 00000 X53 0000000 00000 X54 0000000 00000 即当派选甲乙丙丁4人组陈和积累对，分别参加自由泳、蝶泳、仰泳、蛙泳的比赛。 参考文献 数学模型（第三版） 姜启源著 高等教育出版社
