微积分的基本思想及其在经济学中的应用摘要： 微积分局部求近似、极限求精确的基本思想贯穿于整个微积分学体系中，而微积分在各个领域中又有广泛的应用，随着市场经济的不断发展，微积分的地位也与日俱增，本文着重研究微分在经济活动中边际分析、弹性分析、最值分析的应用，以及积分在最优化问题、资金流量的现值问题中的应用。 关键词：微分 积分 基本思想 应用微积分是人类智慧最伟大的成就之一，局部求近似、极限求精确的基本思想是进一步学习高等数学的基础。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用微分和积分可以对经济活动中的实际问题进行量化分析，从而为企业经营者的科学决策提供依据。 微积分的产生、发展及其作用 微积分思想的萌发出现的比较早，中国战国时代的《庄子·天下》篇中的“一尺之锤，日取其半，万事不竭”就蕴涵了无穷小的思想。经查阅文献《晏能中微积分——数学发展的里程牌》得知：到了十七世纪，欧洲许多数学家也开始运用微积分的思想来写极大值与极小值，以及曲线的长度等等。帕斯卡在求曲边形面积时，用到“无穷小矩形”的思想，并把无穷小概念引入数学，为后来莱布尼兹的微积分的产生奠定了基础。 随着数学科学的发展，微积分得到了进一步的发展，其中欧拉对于微积分的贡献最大，他的《无穷小分析引论》、《微分学》、《积分学》三部著作对微积分的进一步丰富和发展起了重要的作用。之后，洛必达、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅立叶等数学家也对微积分的发展作出了较大的贡献。由于这些人的努力，微分方程、级数论得以产生，微积分也正式成为了数学一个重要分支。 微积分的创立改变了整个数学世界。微积分的创立，极大的推动了数学自身的发展，同时又进一步开创了诸多新的数学分支，例如：微分方程、无穷级数、离散数学等等。此外，数学原有的一些分支，例如：函数与几何等等，也进一步发展成为复变函数和解析几何，这些数学分支的建立无一不是运用了微积分的方法。在微积分创设后这三百年中，数学获得了前所未有的发展。 微积分的基本思想———局部求近似、极限求精确 微积分是微分学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确。以下我们具体阐述微分学与积分学的思想。 1微分学的基本思想 微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线。在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线──该点处的“切线”。它在该点处相当小的范围内，可以与曲线密合得难以区分。这种近似，使对复杂函数的研究在局部上得到简化。2积分学的基本思想 积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。微分与积分虽然是微观和宏观两种不同范畴的问题，但它们的研究对象都是“非均匀”变化量，解决问题的基本思想方法也是一致的。可归纳为两步：微小局部求近似值；利用极限求精确。微积分的这一基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，并且将指导我们应用微积分知识去解决各种相关的问题。微分在经济学中的应用 随着经济的发展及数学理论的完善，数学与经济学的关系越来越密切，应用越来越广泛微积分作为数学知识的基础，介绍微积分与经济学的书也越来越多，然而大部分书或者着重介绍经济学概念或者着重介绍数学理论，很少有主要介绍微积分在经济学中的应用的书本文将通过对一些简单的微积分知识在经济学中的应用，以使人们意识到理论与实际结合的重要性 2弹性分析 在文献《蔡芷财会数学》中，某个变量对另一个变量变化的反映程度称为弹性或弹性系数。在经济工作中有多种多样的弹性，这决定于所考察和研究的内容，如果是价格的变化与需求反映之间有关系，那么这个反映就称为需求弹性。由于具体商品本身属性的不同以及消费需求的差异，同样的价格变化给不同商品的需求带来的影响是不同的。有的商品反应灵敏，弹性大，涨价降价会造成剧烈的销售变动；有的商品则反应呆滞，弹性小，价格变化对其没什么影响。积分在经济学中的应用 积分学是微分学的逆问题，利用积分学来研究经济变量的变化问题是经济学中的一个重要方法，不定积分是求全体原函数，定积分是求和式的极限。由边际函数求原函数，或求一个变上限的定积分，一般都采用不定积分来解决；如果求原函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角。总结： 微积分局部求近似、极限求精确的基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，在经济日益发展的今天，微积分的地位也与日俱增，贷款、养老金、医疗保险、企业分配、市场需求等等金融问题越来越多地进入普通人的生活，利用微积分的知识有利于我们去解决各种相关的问题。参考文献： [1] 祁卫红，罗彩玲微积分学的产生和发展[J]山西广播电视大学学报，2003，（02） [2] 晏能中微积分——数学发展的里程牌[J]达县师范高等专科学校学报，2002，（04） [3] 同济大学数学教研室高等数学（第四版）[M]北京：高等教育出版社， [4] [美]托·道林数学在经济中的应用[M]福州：福建科学技术出版社，1983， [5] 蔡芷财会数学[M]上海：知识出版社，1982， [6] 赵树嫄经济应用数学基础（一）微积分中国人民大学出版社， [7] 杨学忠微积分[M]中国商业出版社， [8] 向菊敏微积分在经济分析活动中的应用[J]科技信息，2009（26） [9] 髙哲浅谈微积分在经济中的应用[J]中国科技博览，2009（7） [10] 王志平高等数学大讲堂[M]大连：大连理工大学出版社， [11] 吴赣昌微积分[M]中国人民大学出版社， [12] 谭瑞林，刘月芬微积分在经济分析中的应用浅析[J]商场现代化，2008（4） [13] 张先荣谈微积分在经济分析中的应用[J]濮阳职业技术学院学报，2009，22（4） [14] 明清河数学分析的思想与方法[M]山东大学出版社， [15] Elizabeth George BBall State University An Analysis of Diagram Modification and Construction in Students’Solutions to Applied calculus Journal for Research in Mathematics Education，2005V36，N3:48- [16]Sandra CCythia Nicol(2006)Challenging Pre-serviceteachers’Mathematical Understanding:The case of Division by S
事实上微积分的定义是经历过很多阶段的。但根欧柯西关系不大，主要是牛顿和莱布尼兹的贡献。16世纪以前，数学研究的对象基本上是常量和不变的图形，如算术、代数主要研究数量关系，几何侧重于研究图形，大抵相当于现在中学数学课本的内容，通称常量数学时期。到了16世纪，对运动的研究变成了自然科学的中心问题。从17世纪开始，进入了所谓变量数学时期，它以微积分的出现和发展为标志。变量数学的第一个决定性步骤是1637年笛卡儿的坐标法——解析几何思想。首先，对于一个二元代数方程如 ，以往在代数中把 x 和 y 看作变量，认为该方程本身表示x与y之间的一种依赖关系，即 是一个线性函数。其次，笛卡儿在平面上引入了直角坐标系，建立了点和数偶、图形与方程之间的联系。这样，数和形就结合起来了，从此，有利于用代数的方法去解决几何问题。变量数学的第二个决定性步骤是微积分的创立。诚然，微积分作为一门学科，它的一些概念（如极限）萌芽于15世纪以前的古代，比如我国三国时的数学家刘徽（公元前3世纪）曾使用割圆术求圆的面积，古希腊阿基米德曾用穷竭法求抛物线弓形的面积，就是很好的例子。微积分和解析几何不同，它的对象是函数本身的性质，而解析几何的对象是几何图形。可以说微积分起源于力学的新问题和几何的老问题，它是在已形成的力学材料的基础上，在从几何和代数中引出的方法和问题的基础上建立起来的。具体说来，就是17世纪，由于天文、航海及生产技术的发展，大量的科学技术和生产实践问题需要解决。这些问题大体上可以归纳为四大类：①已知物体移动的距离是时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；反过来已知加速度是时间的函数，求速度与距离；②求曲线的切线；③求函数的最大值、最小值；④求曲线的长、曲线的面积、曲面围成的体积以及两个物体之间的引力等等。当时，许多数学家都为解决这些问题而努力探索，其中有关微分学方面的问题解决得比较好，积分学中的一些问题也得到过一些好的结果。但是由于他们使用的方法多半不具有普遍性，或者即使有的方法蕴含着普遍性，但由于尚未有人能充分理解微分与积分这两类问题之间的相互联系的意义，因而未能创立微积分。直到17世纪后半期，英国的牛顿与德国的莱布尼兹，在前人工作的基础上，各自独立地建立了微分运算和积分运算。并且建立了二者之间的内在联系，才奠定了微积分这门学科的基础。但简洁说来，之前牛顿和莱布尼兹就是在无穷小的定义上出了毛病，柯西不满意的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。
