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人民币中的数学问题 有一天，我跟妈妈去逛商场。妈妈进了超市买东西，让我站在付钱的地方等她。我没什么事，就看着营业员阿姨收钱。看着看着，我忽然发现营业员阿姨收的钱都是1元、2元、5元、10元、20元、50元的，我感到很奇怪：人民币为什么就没有3元、4元、6元、7元、8元、9元或30元、40元、60元呢？我赶快跑去问妈妈，妈妈鼓励我说：“好好动脑筋想想算算，妈妈相信你能自己弄明白为什么的。”我定下心，仔细地想了起来。过了一会儿，我高兴地跳了起来：“我知道了，因为只要有1元、2元、5元就可以随意组成3元、4元、6元、7元、8元、9元，只要有10元、20元、50元同样可以组成30元、40元、60元……”妈妈听了直点头，又向我提了一个问题：“如果只是为了能随意组合的话，那只要1元不就够了吗？干吗还要2元、5元呢？”我说：“光用1元要组成大一点的数就不方便了呀。”这下妈妈露出了满意的笑容，夸奖我会观察，爱动脑筋，我听了真比吃了我最喜欢吃的冰激凌还要舒服。 
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把循环小数化成分数的方法，可以用移动循环节的过程来推导，也可以用无限递缩等比数列的求和公式计 算得到。下面我们运用猜想验证的方法来推导。 （一）化纯循环小数为分数 大家都知道：一个有限小数可以化成分母是10、100、1000 ……的分数。那么，一个纯循环小数可以化成 分母是怎样的分数呢？我们先从简单的循环节是一位数字的纯循环小数开始。如：＠①、＠②……化成分数时 ，它们的分母可以写成几呢？ 想一想：可能是10吗？不可能。因为1/10＝1〈＠①，3/10＝3〉＠②；可能是8吗？不可能。 因为1/ 8＝125〉＠①，3/8＝375〉＠②；那么，可能是几呢？因为1/10〈＠①〈1/8，3/10〈＠②〈3/8，所以分 母可能是9。 下面我们来验证一下自己的猜想：1/9＝1÷9＝111……＝＠①；3/9＝1/3＝1÷3＝333……＝ ＠②。 计算结果说明我们的猜想是对的。那么，所有循环节是一位数字的纯循环小数都可以写成分母是9的分数吗 ？让我们根据自己的猜想， 把＠③、＠④化成分数后再验证一下。 ＠③＝4/9 验证：4/9＝4÷9＝444…… ＠④＝6/9＝2/3 验证：2/3＝2÷3＝666…… 经过上面的猜想和验证，我们可以得出这样的结论：循环节是一位数字的纯循环小数化成分数时，用一个 循环节组成的数作分子，用9 作分母；然后，能约分的再约分。 循环节是两位数字的纯循环小数怎样化成分数呢？如：＠⑤、＠⑥……化成分数时，它们的分母又可以写 成多少呢？ 想一想：可能是100吗？不可能。因为12/100＝12〈＠⑤，13/100＝13〈＠⑥。可能是98吗？不可能。 因为12/98≈1224〉＠⑤，13/98≈1327〉＠⑥；可能是多少呢？因为12/100〈＠⑤〈12/98，13/100〈＠⑥ 〈13/98，所以分母可能是99。是否正确，还需验证一下。 12/99＝12÷99＝121212……＝＠⑤； 13/99＝13÷99＝131313……＝＠⑥。 验证结果说明我们的猜想是正确的。那么，所有循环节是两位数字的纯循环小数都可以写成分母是99的分 数吗？让我们再运用猜想的方法，把＠⑦、＠⑧化成分数后，验算一下。 ＠⑦＝15/99＝5/33，验算：5/33＝5÷33＝151515…… ＠⑧＝18/99＝2/11，验算：2/11＝2÷11＝181818…… 经过这次猜想和验证，我们可以得出这样的结论：循环节是两位数字的纯循环小数化成分数时，用一个循 环节组成的数作分子，用99作分母；然后，能约分的再约分。 现在，你能推断出循环节是三位数字的纯循环小数化成分数的方法吗？ 因为循环节是一位数字的纯循环小数化成分数时，用9作分母， 循环节是两位数字的纯循环小数化成分数 时，用99作分母，所以循环节是三位数字的纯循环小数化成分数时，我们猜想是用999作分母， 分子也是一个 循环节组成的数。让我们再来验证一下，如果这个猜想也是正确的，那么，我们就可以依次推下去了。 附图{图} 实验证明：我们的猜想是完全正确的。照此推下去，循环节是四位数字的纯循环小数化成分数时，就要用 9999作分母了。实践证明也是正确的。所以，纯循环小数化成分数的方法是： 用9、99、999……这样的数作分母，9 的个数与循环节的位数相同；用一个循环节所组成的数作分子；最 后能约分的要约分。 二、化混循环小数为分数 我们已经运用猜想验证的方法研究过怎样化纯循环小数为分数，再用这种方法研究一下怎样化混循环小数 为分数。 还是先从较简单的数入手，如： 附图{图} ……这样循环节只有一位数字的混循环小数化成分数时，分子、分母分别有什么特点呢？ 这样想：一个混循环小数有循环部分，还有不循环部分，能否将它改写成一个纯循环小数与一个有限小数 的和，然后再化成分数呢？让我们试试看。 附图{图} 观察以上过程，你能看出循环节只有一位数字的混循环小数化成的分数有什么特点吗？很容易看出：它们 的分母都是由一个9与几个0组成的数。再仔细观察可以发现：0 的个数恰好与不循环部分的数字个数相同。它 们的分子有什么特点呢？不难看出：它们的分子都比不循环部分与第一个循环节所组成的数要小。到底小多少 呢？让我们算一算： （1）21－19＝2 （2）543－489＝54 （3）696－627＝69 细心观察不难看出：分子恰好是一个比不循环部分与第一个循环节所组成的数少一个由不循环部分的数字 所组成的数。这个规律具有普遍性吗？让我们运用以上的规律把 附图{图} 化成分数，验证一下它的正确性。 附图{图} 验证：352/1125＝352÷1125＝312888…… 验证的结果是完全正确的。那么，循环节是两位数字的混循环小数化成的分数，分子、分母是否也有这样 的规律呢？分子是由一个比小数的不循环部分与第一个循环节所组成的数少一个不循环部分的数字所组成的数 ；分母是由9和0组成的数，0 的个数与不循环部分的数字个数相同，9的个数与一个循环节的数字个数相同。 让我们按照猜想的方法试把 附图{图} 化成分数，然后再验证一下。 附图{图} 实践证明，我们的猜想是正确的。那么，循环节是三位数、四位数……的混循环小数是否也能按照这样的 方法化分数呢？让我们把 附图{图} 化成分数后，再验证一下 附图{图} 验证的结果也是正确的，说明我们的猜想可能是正确的。这个方法也确实是正确的。当然，我们在运用猜 想验证的方法时，并不一定每次的猜想都是正确的。如果不正确，就需要根据具体情况进行修改，然后再验证 ，直至正确为止。 猜想验证的方法是人类探索未知的一种重要方法，很多科学规律的发现，都是先有猜想，而后被不断的验 证、再猜想、再验证才被认识。猜想验证也是一种重要的数学思想方法。我们应在向学生讲解具体知识的同时 ，也要求他们从小就学习运用这种思想方法。 字库未存字注释： ＠①原字为1，1上加 ＠②原字为3，3上加 ＠③原字为4，4上加 ＠④原字为6，6上加 ＠⑤原字为12，12上加 ＠⑥原字为13，13上加 ＠⑦原字为15，15上加 ＠⑧原字为18，18上加
梯形面积公式真神通 一天，我和孙予澄我表妹在家里整理平行四边形、三角形和梯形面积公式时，按妈妈的要求写出几组能用梯形面积公式计算的数据进行计算。 我想了一下很快写出了一组：上底8米，下底15米，高4米。（8＋15）×4÷2＝23×4÷2＝92÷2＝46（平方米） 过了一会我又写出了一组：上底5分米，下底5分米，高2分米。（5＋5）×2÷2＝10×2÷2＝10（平方分米） 就在这时候，孙予澄说：杨琦姐姐，上底和下底都是5分米的图形不是梯形，这组数据不符合要求。‘’经孙予澄一提醒，我一想，哎，真的！ 这时妈妈过来了，她看了看我们写出的数据后说：“那我们就照叶杨琦的数据缩小10倍，画一画图形，验证一下好吗？”说干就干，大家一下忙开了，不一会儿，我们的图形证实这不是梯形，而是一个平行四边形，而且而我自己还分别画出上底下底都是3厘米和4厘米的图形，发现都是平行四边形。我不好意思地涨红了脸。这时，妈妈用鼓励的眼光看着我说：“我们一起来算算这个平行四边形的面积行吗？”话音刚落，“5×2＝10平方分米”孙予澄嘴真快。大家都点头称是。 妈妈说：“同一个图形，如果看作是平行四边形，面积是10平方分米。如果看作是一个梯形，面积还是10平方分米。说明了什么呢？”我们议论开了。孙予澄说，平行四边形可以看作是上底等于下底的梯形。我说，当梯形的上底等于下底时，就成了平行四边形。老师说：“照你们的说法，平行四边形面积也能用梯形面积公式来计算啦！”“能。”大家异口同声地说。 谁知一波刚平一波又起，孙予澄拿着我表妹的数据哈哈大笑起来，我接过来一看，惊呆了。“上底是0厘米，下底是6厘米，高是2厘米。”“哪有上底是0的梯形呢？”表妹却理直气壮地说：“允许你把上底等于下底是平行四边形的看作梯形，就不允许我把上底等于0的三角形看作是一个梯形啊？”就在我和表妹争论的空档，孙予澄已经画出了图形，又分别用梯形面积公式和三角形面积公式进行计算。孙予澄对我挤挤眼，意思说，我表妹说的有道理。这时我也一下子豁然开朗了。对呀！梯形面积公式真神啊！ 通过了这次整理，我不仅懂得用梯形面积公式能计算出三角形、平行四边形的面积，还明白了：世界上的事物不是一成不变的，有的事物会由于数量的变化，演变成另一种事物的道理。
数学教学中培养学生细心的学习习惯的方法 学习数学需要严谨、慎密的思维品质。 我们在数学教学中，常常教导学生做题时要认真，检查时要细心。可当你批阅作业时，时常发现有不少学生（后进生居多）因粗心大意而抄错文字、数字，张冠李戴；有的学生在草稿纸上已算对答案，但写到作业本上改变了模样；有的学生因写错了运算符号导致解题出错。面对这许多“粗心错”的题目，确实令人头疼，原因就在于粗心和细心一样也是一种习惯，想要改变并不容易。学生的粗心已影响到我们教学效率的提高了。培养学生细心的学习习惯就显得很重要、很迫切。 根据自己的教学实践，我认为在平时的数学教学中培养学生细心的习惯可从以下几方面入手： 一、帮助学生认识养成细心习惯的重要性。“粗心”这一习惯不是一天形成的。在帮助学生由粗心变细心的过程中，教师要有高度的责任心和持久的耐心，不可急躁，更不可责骂学生，因为受到责骂，学生情绪紧张、慌乱，兴致全无，会变得更加粗心。教师在面批作业时，对因粗心而错题的学生，可以把正确的解答过程和学生出错的解答过程写在一块，耐心细致地帮助学生分析出错的原因，让其注意对比观察：错误出在哪儿？是什么原因导致出错？如果是由于粗心，是“没注意看”、“急躁，不按顺序解答”，还是“笔下之误”所致，进行深入分析，反思自己做题的不良习惯。再让学生从诸多的因粗心而造成的错误中认识到粗心给我们学习生活带来了许多麻烦。在学习中，由于粗心，做作业、考试书写乱，错误百出，既浪费了时间精力，又没多大成效；生活中由于粗心做事马马虎虎、丢三落四，给我们带来了许多不便。如果不及时改掉粗心的坏习惯，将对今后的学习生活产生许多不良影响。 二、教师认真、细致地给学生做示范和表率。我们平时的板演、批改作业的字迹和符号，一定要规范、整洁，教师批阅数学作业一定要细致，最好面批，不能只看最后的答案，要逐步逐个数字检查，发现错误，及时帮助学生纠正，教师严谨细致的态度会“润物无声”，会对学生起到潜移默化的作用。 三、帮助学生总结经验，归纳做题方法。粗心的学生往往是动手快于动脑，在做一道题时缺乏仔细观察和全面的思考，虽然这一情况随着学生认知能力的提高会有所改善，但对已经形成粗心习惯的学生，则要教师耐心、细致地在方法上给予指导。平时要有意识地要求学生做题一定要集中注意力，在仔细看题中放松心情，解题要按步骤进行。看到题目不要急于动笔，要仔细看清题目的要求，防止答非所问，要结合题目联想学过的内容（例题），尽量用简单的方法解答，不要漏掉相关的条件和数量，需要验算的一定要验算，在解答过程中，注意“一步一回头”，随时检查。运算符号和数字的书写要规范，计算要准确，努力做到“快而不急，忙而不乱”，集中精力是关键。 教育学生养成验算的习惯。数学教学应当培养学生做作业认真、仔细，书写整洁、格式符合规定，对计算结3 等良好的学习习惯。我们可以让学生通过检查，看看有没有疏漏、错误。根据我的教学实践，我觉得教师有必要勤检查经常因粗心出错的学生的草稿纸，以便了解这些学生解题思路和过程，帮助寻找存在的问题，进而给予有效指导。 帮助学生总结经验，归纳方法。比如教给学生计算的检查方法：一对抄题，看有没有抄错题目、数字；二对列式，看有没有列错算式；三对计算过程及得数。复杂一点的计算题的审题方法可以概括为“两想两看”，即：先看整个算式，是由几部分组成，想一想按一般方法该如何计算；再看一看有没有某些特别的条件，想一想能不能用简便的方法计算，不要盲目地进行简便运算，避免弄巧成拙。 四、加强学生的口算练习，提高计算能力。学生做计算题的速度及正确率与每个学生自身的口算能力有着密不可分的联系。因此。我们在平时应注意对学生进行必要的口算练习，基本上采用听算和看算练习，长期坚持，学生计算的速度和正确率的提高是显而易见的，自然有助于学生粗心的习惯向细心的习惯的转变。 五、教师应合理布置作业，避免负面效应。注意每天布置的作业量和难度是否适度，如果作业量过多，题目难度过大，造成学生负担过重，学生在规定的时间内无法完成，时间一长，学生产生了厌学心理，就会采用多种方法抄袭应付了事，自然做不到认真解题、细心检查了。这样，不但起不到巩固、熟练的作用，而且会助长粗心的发展。
