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五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线。 
对于初中生而言，几何推理的学习存在一定的难度。利用几何直观，可以帮助学生把复杂的几何问题变得简明形象，有助于学生进行几何推理的学习。针对如何在课堂教学中培养学生的几何直观能力和推理能力进行了一些探索。通过尺规作图，引导学生运用“先直观，再推理”的分析方法，提高学生解决几何问题的能力。 中国论文网 -htm关键词：几何直观能力；推理能力；尺规作图一、研究背景按照《义务教育数学课程标准（2011年版）》的规定，几何直观主要是指利用图形来分析问题。恰当地利用几何直观，可以帮助学生直观地理解数学，特别是抽象的数学内容；同时，借助几何直观还可以把复杂的数学问题变得简明形象，有助于提高学生解决问题的能力。在中学数学阶段，教师不仅要关注基础知识和基本技能的培养，也要关注学生高层次能力的培养。其中，培养学生的几何推理和几何直观能力是新课程标准的重要目标。“尺规作图”一直是培养学生数学几何推理和几何直观能力的阵地之一。在初中数学教材中，与“尺规作图”相关的内容主要有：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线；（6）利用三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；（7）已知底边及底边上的高线作等腰三角形；（8）已知一直角边和斜边作直角三角形。在教师的实际教学中，几何直观和几何推理常常难以调和。前者注重直观形象，后者注重严密逻辑。在许多教师眼中，“尺规作图”常常被视为学生动手实践和操作的载体，而忽视作图中的几何推理部分。本文采用引导学生先通过尺规作图，直观感受几何图形的变化规律，再通过几何推理证明规律，最后在具体情境中应用规律的方式，对尺规作图在初中数学几何直观与推理能力培养上的应用进行了探索。二、问题提出问题：如图1，平面上存在三条互相平行的直线m，n，i，点A为平面上的直线i上确定的一点。以A为顶点，利尺规作图画出等边△ABC，使得顶点B在直线m上，顶点C在直线n上。在此题中，点A的位置已经确定。为了构造等边三角形，随着点B在直线m上运动，点C的位置也会随之改变。因此，直接确定点A，点B，点C分别在三条平行线上的具体位置会有很大的难度。那么，当点B在直线m上运动时，点C的运动规律是什么呢？为了更好地研究点C的运动情况，笔者将原有问题进行了改变。三、问题转化问题：如图2，平面上存在两条互相平行的直线i，m，点A为直线i上一点。点B在直线m上运动。以A、B为顶点，利用尺规作图画出等边△ABC。探究点C的运动规律。在改变后的问题中，可以先在直线m上确定点B的位置，再通过作图去确定点C的位置。因此，需要在直线m上至少选取三个点B1，B2，B3（图3），各自完成等边三角形的作图，再根据点C1，C2，C3的位置（图4），通过几何直观去判断点C的运动规律。在教学过程中，当笔者完成作图后，学生得到的初步判断是：根据几何直观，点C1，C2，C3的位置在同一条直线上。在通过推理对猜想进行证明，可以先将图4中的等边三角形△AB2C2忽略，将问题转化为两个等边三角形公共顶点的旋转问题，如图5。图5中，在连接C1C3后，易证明△AB1B3≌△AC1C3与∠AB3B1=∠AC3C1，进而可以证明直线C1C3与直线m的夹角是60°。同理，若忽略等边三角形AB3C3的存在（图6），也可以证明直线C1C2与直线m的夹角是60°。因此，直线C1C3、直线C1C2与直线m的夹角都是60°，所以点C1，C2，C3共线。这个结论说明，当点B在直线m上运动时，点C的运动轨迹即为图5、6中的直线C1C3。四、深层探究�y道每次分析问题时都要画出两个等边三角形后才能确定点C的运动轨迹？能不能在确定点A的位置后，直接作出点C所在的直线？笔者带领学生在原来的基础上继续探究：在图7中，设直线C1C3与直线m的交于点M，与直线i交于点N。作AD⊥直线m，AE⊥直线C1C3。在证明△AB1B3≌△AC1C3后，可得两个三角形的面积相等且底边B1B3=C1C3，因此垂线段AD=AE。在图7中连接线段AM，根据角平分线逆定理，AM平分∠B1MC3；因此∠B1MC3=60°。再根据直线m∥i，可证明△AMN为等边三角形。因此，在确定了点A的位置后，只要以点A为顶点，在平行直线m与直线i间构造等边△AMN即可。为了构造该等边三角形，需要先构造∠MAN=60°。作图过程如图8所示。图8中新出现的直线即为点C的运动轨迹。最后，笔者带领学生重新审视最开始问题，根据上面的研究，可以根据点A与直线m的位置，直接作出点C的轨迹直线，如图9。再结合原题，可以得到如下结论：点C既会出现在直线n上，又会出现在轨迹直线上。因此，点C位于轨迹直线与直线n的交点上。在确定了点C的位置后，线段AC即为等边三角形的边长。之后再利用圆规，以点A为圆心，AC长为半径画弧。其与直线m的交点即为点B的位置。顺次连接线段，即得到符合题目要求的等边△ABC，如图10。五、研究反思在几何教学过程中，教师往往对于几何直观缺乏应有的重视。教师习惯于关注推理的方法和结论，而对学生推理的思考过程有所忽视。对于一个完整的思考过程而言，往往是从对事物的初始认识开始的。尤其对初中生而言，正在经历从“算术”到“数学”，从具体到抽象的过渡。受学生逻辑思维能力的限制，很多学生在几何推理的学习上是有一定困难的。因此，在教师的几何教学过程中，借助于几何直观、几何解释，让学生通过“眼见为实”，帮助学生更好地理解和接受抽象的内容和方法，通过“图象语言，符号语言，数学语言”三结合的方式去学习几何，尤其是进行几何推理的学习。在探究教学过程中，可以让学生根据作图，先对结论进行直观判断，再对结论进行严格证明。这样的学习过程对于培养学生的几何直观能力和借助几何直观进行推理论证的能力有很大的促进作用。使用这种“先直观，后推理”的方式，我们可以解决很多类似的尺规作图问题。例如，在平面内任意三条直线上各取一个点，利用尺规作图使得这三个点为等边三角形、直角等腰三角形的顶点；或者在平面内的三个圆上各取一个点，尺规作图使得这三个点为等边三角形、等腰直角三角形的顶点。希望有兴趣的老师可以和笔者一起研究。参考文献：[1]秦德生，孔凡哲关于几何直观的思考[J]中学数学教学参考，[2]刘晓玫对“几何直观”及其培养的认识与分析[J]中国数学教育，
高斯(Gauss 1777~1855)生于Brunswick，位于现在德国中北部。他的祖父是农民，父亲是泥水匠，母亲是一个石匠的女儿，有一个很聪明的弟弟，高斯这位舅舅，对小高斯很照顾，偶而会给他一些指导，而父亲可以说是一名「大老粗」，认为只有力气能挣钱，学问这种劳什子对穷人是没有用的。 高斯很早就展现过人才华，三岁时就能指出父亲帐册上的错误。七岁时进了小学，在破旧的教室里上课，老师对学生并不好，常认为自己在穷乡僻壤教书是怀才不遇。高斯十岁时，老师考了那道著名的「从一加到一百」，终于发现了高斯的才华，他知道自己的能力不足以教高斯，就从汉堡买了一本较深的数学书给高斯读。同时，高斯和大他差不多十岁的助教Bartels变得很熟，而Bartels的能力也比老师高得多，后来成为大学教授，他教了高斯更多更深的数学。 老师和助教去拜访高斯的父亲，要他让高斯接受更高的教育，但高斯的父亲认为儿子应该像他一样，作个泥水匠，而且也没有钱让高斯继续读书，最后的结论是－－去找有钱有势的人当高斯的赞助人，虽然他们不知道要到哪里找。经过这次的访问，高斯免除了每天晚上织布的工作，每天和Bartels讨论数学，但不久之后，Bartels也没有什么东西可以教高斯了。 1788年高斯不顾父亲的反对进了高等学校。数学老师看了高斯的作业后就要他不必再上数学课，而他的拉丁文不久也凌驾全班之上。 1791年高斯终于找到了资助人－－布伦斯维克公爵费迪南(Braunschweig)，答应尽一切可能帮助他，高斯的父亲再也没有反对的理由。隔年，高斯进入Braunschweig学院。这年，高斯十五岁。在那里，高斯开始对高等数学作研究。并且独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的「二次互逆定理」(Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理(prime numer theorem)、及算术几何平均(arithmetic-geometric mean)。 1795年高斯进入哥廷根(G?ttingen)大学，因为他在语言和数学上都极有天分，为了将来是要专攻古典语文或数学苦恼了一阵子。到了1796年，十七岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果。最为人所知，也使得他走上数学之路的，就是正十七边形尺规作图之理论与方法。 希腊时代的数学家已经知道如何用尺规作出正 2m×3n×5p 边形，其中 m 是正整数，而 n 和 p 只能是0或1。但是对于正七、九、十一边形的尺规作图法，两千年来都没有人知道。而高斯证明了： 一个正 n 边形可以尺规作图若且唯若 n 是以下两种形式之一： 1、n = 2k，k = 2， 3，… 2、n = 2k × (几个不同「费马质数」的乘积)，k = 0，1，2，… 费马质数是形如 Fk = 22k 的质数。像 F0 = 3，F1 = 5，F2 = 17，F3 = 257， F4 = 65537，都是质数。高斯用代数的方法解决二千多年来的几何难题，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。 1799年高斯提出了他的博士论文，这论文证明了代数一个重要的定理： 任一多项式都有（复数）根。这结果称为「代数学基本定理」(Fundamental Theorem of Algebra)。 事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。高斯把前人证明的缺失一一指出来，然后提出自己的见解，他一生中一共给出了四个不同的证明。 在1801年，高斯二十四岁时出版了《算学研究》(Disquesitiones Arithmeticae)，这本书以拉丁文写成，原来有八章，由于钱不够，只好印七章。 这本书除了第七章介绍代数基本定理外，其余都是数论，可以说是数论第一本有系统的着作，高斯第一次介绍「同余」(Congruent)的概念。「二次互逆定理」也在其中。 二十四岁开始，高斯放弃在纯数学的研究，作了几年天文学的研究。 当时的天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已，认为火星和木星间应该还有行星未被发现。在1801年，意大利的天文学家Piazzi，发现在火星和木星间有一颗新星。它被命名为「谷神星」(Cere)。现在我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个，但当时天文学界争论不休，有人说这是行星，有人说这是彗星。必须继续观察才能判决，但是Piazzi只能观察到它9度的轨道，再来，它便隐身到太阳后面去了。因此无法知道它的轨道，也无法判定它是行星或彗星。 高斯这时对这个问是产生兴趣，他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题。高斯自己独创了只要三次观察，就可以来计算星球轨道的方法。他可以极准确地预测行星的位置。果然，谷神星准确无误的在高斯预测的地方出现。这个方法－－虽然他当时没有公布－－就是「最小平方法」 (Method of Least Square)。 1802年，他又准确预测了小行星二号－－智神星(Pallas)的位置，这时他的声名远播，荣誉滚滚而来，俄国圣彼得堡科学院选他为会员，发现Pallas的天文学家Olbers请他当哥廷根天文台主任，他没有立刻答应，到了1807年才前往哥廷根就任。 1809年他写了《天体运动理论》二册，第一册包含了微分方程、圆椎截痕和椭圆轨道，第二册他展示了如何估计行星的轨道。高斯在天文学上的贡献大多在1817年以前，但他仍一直做着观察的工作到他七十岁为止。虽然做着天文台的工作，他仍抽空做其他研究。为了用积分解天体运动的微分力程，他考虑无穷级数，并研究级数的收敛问题，在1812年，他研究了超几何级数(Hypergeometric Series)，并且把研究结果写成专题论文，呈给哥廷根皇家科学院。 1820到1830年间，高斯为了测绘汗诺华(Hanover)公国（高斯住的地方）的地图，开始做测地的工作，他写了关于测地学的书，由于测地上的需要，他发明了日观测仪(Heliotrope)。为了要对地球表面作研究，他开始对一些曲面的几何性质作研究。 1827年他发表了《曲面的一般研究》 (Disquisitiones generales circa superficies curva)，涵盖一部分现在大学念的「微分几何」。 在1830到1840年间，高斯和一个比他小廿七岁的年轻物理学家－韦伯(Withelm Weber)一起从事磁的研究，他们的合作是很理想的：韦伯作实验，高斯研究理论，韦伯引起高斯对物理问题的兴趣，而高斯用数学工具处理物理问题，影响韦伯的思考工作方法。 1833年高斯从他的天文台拉了一条长八千尺的电线，跨过许多人家的屋顶，一直到韦伯的实验室，以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机。 1835年高斯在天文台里设立磁观测站，并且组织「磁协会」发表研究结果，引起世界广大地区对地磁作研究和测量。 高斯已经得到了地磁的准确理，他为了要获得实验数据的证明，他的书《地磁的一般理论》拖到1839年才发表。 1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。 1841年美国科学家证实了高斯的理论，找到了磁南极和磁北极的确实位置。 高斯对自己的工作态度是精益求精，非常严格地要求自己的研究成果。他自己曾说：「宁可发表少，但发表的东西是成熟的成果。」许多当代的数学家要求他，不要太认真，把结果写出来发表，这对数学的发展是很有帮助的。 其中一个有名的例子是关于非欧几何的发展。非欧几何的的开山祖师有三人，高斯、 Lobatchevsky（罗巴切乌斯基，1793～1856）， Bolyai（波埃伊，1802～1860）。其中Bolyai的父亲是高斯大学的同学，他曾想试着证明平行公理，虽然父亲反对他继续从事这种看起来毫无希望的研究，小Bolyai还是沉溺于平行公理。最后发展出了非欧几何，并且在1832～1833年发表了研究结果，老Bolyai把儿子的成果寄给老同学高斯，想不到高斯却回信道： to praise it would mean to praise 我无法夸赞他，因为夸赞他就等于夸奖我自己。 早在几十年前，高斯就已经得到了相同的结果，只是怕不能为世人所接受而没有公布而已。 美国的着名数学家贝尔(ETBell)，在他着的《数学工作者》(Men of Mathematics) 一书里曾经这样批评高斯： 在高斯死后，人们才知道他早就预见一些十九世的数学，而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把他所知道的一些东西泄漏，很可能现在数学早比目前还要先进半个世纪或更多的时间。阿贝尔(Abel)和雅可比(Jacobi)可以从高斯所停留的地方开始工作，而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西。而那些非欧几何学的创造者，可以把他们的天才用到其他力面去。 在1855年二月23日清晨，高斯在他的睡梦中安详的去世了 1客车长190米，货车长240米，两车分别以每秒20米和每秒23M的速度前进在双轨铁路上，相遇时从车头相遇到车尾相离需几秒? 答案:10秒 2 计算1234+2341+3412+4123=? 答案:11110 3 一个等差数列的首项是6 ，第六项是6，求它的第4项 答案:6 4 求和1+3+5+7++87+89=? 答案:5 5 求解下列同余方程: (1)5X≡3(mod 13) (2)30x≡33(mod 39) (3)35x≡140(mod 47) (4)3x+4x≡45(mod 4) 答案:(1)x≡11(mod 13) (2)x≡5(mod 39) (3)x≡4(mod 47) (4)x≡3(mod 4) 6 请问数2206525321能否被7 11 13 整除? 答案:能 7现有1分2分5分硬币共100枚，总共价值2元已知2分硬币总价值比一分硬币总价值多13分，三类硬币各几枚? 答案:一分币51`枚二分币32枚5分币17枚 8 找规律填数: 0 ， 3，8，15，24，35，___，63 答案: 48 9 100条直线最多能把平面分为几个部分? 答案:5051 10 A B两人向大洋前进，每人备有12天食物，他们最多探险___天 答案:8天 11 100以内所有能被2或3或5或7整除的自然数个数 答案:78个 12 1/2 + 1/2+3 + 1/2+3+4 + + 1/2+3+4++10=? 答案:343/330 13 从1，2，3，2003，2004这些数中最多可取几个数，让任意两数差不等于9? 答案:1005 14 求360的全部约数个数 答案: 24 15 停车场上，有24辆车，汽车四轮，摩托车3轮，共86个轮三轮摩托车____辆 答案:10辆 16 约数共有8个的最小自然数为____ 答案:24 17求所有除4余一的两位数和 答案;1210
