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撰写毕业论文是检验学生在校学习成果的重要措施，也是提高教学质量的重要环节。大学生在毕业前都必须完成毕业论文的撰写任务。申请学位必须提交相应的学位论文，经答辩通过后，方可取得学位。可以这么说，毕业论文是结束大学学习生活走向社会的一个中介和桥梁。毕业论文是大学生才华的第一次显露，是向祖国和人民所交的一份有份量的答卷，是投身社会主义现代化建设事业的报到书。一篇毕业论文虽然不能全面地反映出一个人的才华，也不一定能对社会直接带来巨大的效益，对专业产生开拓性的影响。实践证明，撰写毕业论文是提高教学质量的重要环节，是保证出好人才的重要措施。通过撰写毕业论文，提高写作水平是干部队伍“四化”建设的需要。党中央要求，为了适应现代化建设的需要，领导班子成员应当逐步实现“革命化、年轻化、知识化、专业化”。这个“四化”的要求，也包含了对干部写作能力和写作水平的要求。提高大学生的写作水平是社会主义物质文明和精神文明建设的需要。在新的历史时期，无论是提高全族的科学文化水平，掌握现代科技知识和科学管理方法，还是培养社会主义新人，都要求我们的干部具有较高的写作能力。在经济建设中，作为领导人员和机关的办事人员，要写指示、通知、总结、调查报告等应用文；要写说明书、广告、解说词等说明文；还要写科学论文、经济评论等议论文。在当今信息社会中，信息对于加快经济发展速度，取得良好的经济效益发挥着愈来愈大的作用。写作是以语言文字为信号，是传达信息的方式。信息的来源、信息的收集、信息的储存、整理、传播等等都离不开写作。 
数学双基教学 关键字：数学，教学，双基，应用， 摘要： 为了面向未来，必须反思过去；为了走向世界，必须认识自己。全书由 国内外著名数学教育专家及一线数学教师执笔写成，力图在理论和实践上对 “数学双基教学”进行全面总结。书中论述了“数学双基教学”的历史形成 、文化背景，阐述其特征，提出了“双基基桩”、“双基模块”、“双基平 台”的概念；借助一系列的调查测试 ，以及大量的教学案例，反映了当前 “数学双基”的现状。在发扬优良传统的同时，也要警惕“数学双基教学” 的异化。 建国初期，我国在基础教育提出了双基教学要求。双基教学实践和研究促进了基础教育发展，尤其促进了数学教育的发展，并成为我国数学教育的特色和优势。随着数学双基教学的形成和发展，更主要是由于应试教育的影响，双基教学出现过分强调记忆、过度强化训练等异化现象。同时，围绕数学双基教学与习题训练、数学双基教学与考试、数学双基教学与课程改革等问题出现争鸣。正确认识数学双基教学的形成和发展，特别是双基教学中的争鸣，不仅有利于解决数学双基教学实践和理论中的问题，而且也有助于推进基础教育其他学科双基教学的健康发展。 [关键词]基础教育；数学；双基教学 1952年，我国《中学暂行规程(草案)》首次提出中学教育目标之一是使学生获得“现代科学的基础知识和技能”，《小学暂行规程(草案)》提出的目标之一是： “使儿童具有读、写、算的基本能力和社会、自然的基本知识”，各学科的双基教学随之产生。与其他学科一样，数学双基教学的形成和发展促进了我国数学教育的进步，并成为我国数学教育的特色和优势。由于“双基”的形成和发展是渐进的，人们对“双基”的认识和理解也在不断变化，尤其是应试教育的产生和影响，双基教学实践中出现过分强调记忆、过度强化训练、“双基”要求拔高、 “双基”成了“应试双基”等异化现象。双基教学在实践中出现的偏差和左右摇摆，成为教育界乃至全社会关注的热点，也成为教育界关注的重大研究题材。因为研究者从不同角度对双基教学中共同关注的问题阐明各自的看法，所以观点自然有异。本文把双基教学实践中的差异，研究中的不同的意见以及文献内外的论争都视为争鸣。本文拟梳理数学双基教学的形成和发展过程，反思双基教学中出现的争鸣，以促进数学教育乃至基础教育双基教学的可持续发展。 一、数学双基教学的形成和发展 自1952年以来，数学双基教学经历了产生、形成和发展的过程，大致可分为以下五个阶段。 阶段一：大纲首次提出“基础知识”，教材、教学中有了“双基” (1952-1956年)。 1952年大纲提出：“中学数学教学的目的是教给学生以数学的基础知识，并培养他们应用这种知识来解决各种实际问题所必需的技能和熟练技巧。”该大纲首次提出“基础知识”和“技能”要求，“双基”一词并未提出。当时我国模仿苏联，在大纲修订前编译出版了一套中学数学教材，造成大纲与教材有不一致的地方，而教学又要求依据大纲，给教师教学带来一些困难。 1954年和1956年大纲的相关表述与1952年的大纲类似，但出版了有“双基”的中学数学教材，并有了双基教学。 1952年颁布的《小学算术教学大纲(草案)》也提出：“保证儿童自觉地和巩固地掌握算术知识和直观几何知识，并使他们获得实际运用这些知识的技能。”这是小学数学“双基”的雏形。 阶段二：大纲逐步形成“双基”，教材、教学体现双基教学(1963-1982年)。 1963年大纲吸取建国初盲目照搬苏联经验及1958年“大跃进”冒进两方面的教训，提出：“中学数学教学的目的是使学生牢固地掌握代数、平面几何、立体几何、三角和平面解析几何的基础知识。培养学生正确而且迅速的计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力。”大纲开始把数学的“三大能力”作为数学双基教学的目标要求，并且逐步形成中国数学教育特色。 1963年大纲(小学算术)提出：“使学生牢固掌握算术和珠算的基础知识。培养学生正确地、迅速地解答应用题的能力以及初步的逻辑推理和空间观念……”可以看出，小学数学“双基”的目标要求也有了“三大能力”。 1966年，“文化大革命”开始，双基教学遭受全面破坏。 1978、1980和1982年的大纲拨乱反正，对双基教学的要求逐步细化。该阶段的教材扎扎实实地加强了基础知识和基本训练，内容比较充实，阐述比较严谨、细致，突出了“双基”。教学实践进一步加强双基教学。 阶段三：明确界定“双基”，教材、教学强化“双基” (1986-1988年)。 1986年大纲明确提出： “使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习现代科学技术所必需的数学基础知识和基本技能，培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力……”此后的数学教学大纲都沿用“数学的基础知识和基本技能”表述。该大纲把教学目的界定为“双基+三大能力+其他”的结构。“双基”是三大能力的前提，三大能力是“双基”的目标要求。 1988年大纲第一次明确界定了数学双基教学的含义：“初中数学中的基础知识包括初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理等以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”“初中数学教学中要培养的基本技能是：能够按照一定的程序与步骤来进行运算、作图或画图、简单的推理。”此后，除了1990年大纲外，其余各类大纲均对“基础知识和基本技能”含义做了明确界定。教材和教学大大加强了对“双基”的要求。随着应试教育的出现，双基教学开始出现异化。 阶段四：大纲细化“双基”，双基教学异化加重(1992-2000年)。 1992年大纲提出的小学数学的教学目的是：使学生理解、掌握数量关系和几何图形的最基础的知识；使学生具有进行整数、小数、分数四则计算的能力，培养初步的逻辑思维能力和空间观念，能够运用所学的知识解决简单的实际问题；使学生受到思想品德教育。同年大纲还对“能够运用所学的知识解决简单的实际问题”作出了阐释。教材编写和教学实践中，在重视基础知识、基本技能的同时，注重培养应用“双基”解决简单的实际问题的能力。实际上，该阶段的教学大纲主张降低“双基”难度，删除繁难偏旧内容，而在实际的教学中，由于高考竞争加剧，唯分数论思潮泛滥，双基教学实践开始过度强调记忆、过度强化训练，出现“题海战术”“应试双基”等异化现象。 2000年大纲对“双基”的要求与1988年和1986年基本一致，但是较1978年有所降低，提出了教学中应培养学生综合的思维能力以及初步的探究能力。 阶段五：课标坚持“双基”，但双基教学似乎弱化(2001年至今)。 2001年的课标提出三维目标，除了“双基”，还提出“数学思考”“解决问题”和“情感态度价值观。”其中“双基”的含义明确为“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题”。同时，课标对“双基”的水平进行了界定和划分。课标坚持了“双基”。发展了“双基”。细化了“双基”，使其更具有操作性和指导性。但是，由于新课程实践中，教师们更多地关注过程方法、情感态度价值观两个维度目标的达成，而在一定程度上忽视或者弱化了双基教学，教材编写也存在类似的问题。 二、数学双基教学发展中的争鸣 从数学双基教学的形成和发展过程来看。我国数学教育界对数学双基教学的认识在逐步加深和曲线发展，以致在某些阶段对数学双基教学在不同层面上存在着认识上的碰撞和隐性的争鸣。双基教学与习题训练、双基教学与考试、双基教学与新课程改革等问题就曾引发不少争议。 (一)双基教学与习题训练 “双基”中的基本技能是指学生能够按照一定的程序、步骤来进行运算、作图或画图、‘简单的推理。技能的形成需要通过重复练习，比如画图技能需要通过不断画图练习而习得，运算技能则需要通过重复的习题训练而形成，习题训练是双基教学迈不过的坎，双基教学必须要有习题训练。但是，当习题训练以偏题、怪题、难题为主时，习题训练过量时，双基教学与习题训练在教学中又产生了矛盾。我国数学教育围绕着这一问题形成了不同观点。 一种观点：双基教学中的习题训练过度，演变成“题海战术”。 中国对解题速度一直有所要求，通过多种形式训练学生的计算速度，比如“口算卡片”。关于解题的速度要求，学界意见并不一致。典型的意见有两种：一种是“只要会做，不必快做”；另一种是“不但会做，还要快做”。这在数学实践中形成了两种极端。中国传统的数学双基教学，正处于后一种极端上，过做大量题目，甚至一些偏题、难题。以显示数学双基教学的效果。现实中的双基教学让数学思想方法淹没在题海之中，只注重数学的形式化而忽略数学的本质。 另一种观点：适度加强训练是双基教学的基本要求。 在双基教学理论中，“基础”是一个关键词。某些知识或技能之所以被选进课程内容，并不是因为它们是一种尖端的东西，而是因为它们是基础的。基础的技能习得必须通过必要的重复训练，正如教师上复习课，其突出特点是“大容量、高密度、快节奏”。一个阶段所学习的知识技能被梳理得脉络清楚，促使知识进一步结构化；大量的典型例题讲解，使学生的知识应用能力得到大大加强，问题类型一目了然，知识的应用范围一清二楚，知识如何应用的知识得到进一步明晰。同时，双基教学在解题训练教学方面，讲究“变式”方法。重复的训练并不是指简单性、单一性的重复，而是要注重变化性的重复，实施变式训练，在变式训练中学习数学知识和数学思想方法。 事实上，上述两种观点并非截然对立。前者强调解题速度，出现“题海战术”，再加上习题繁难偏旧，加重了学生负担，拔高了双基教学要求；后者强调适度训练是双基教学必需的训练环节。要让学生掌握“双基”，适度的习题训练必不可少。因此，双基教学并非不能进行习题训练，关键要掌握好训练的度，纠正以单一选拔为目的的考试、加重学生负担的“题海战术”和“繁难偏旧”的习题训练。 (二)双基教学与考试 自20世纪80年代以来，高考竞争加剧，应试教育出现。相应的，在数学双基教学的实践中，出现了以考试内容决定教学内容的取舍和侧重的问题，凡必考内容才教，不考内容就删。由此，教育界出现了关于双基教学与考试之间关系的争鸣，主要表现为两种观点。 一种观点：双基教学与考试结合致使双基教学异化。 双基教学和考试结合，成为“考试的双基教学”和“应试双基教学”。最突出表现为，双基教学目标被异化为“知识点”的掌握，导致双基教学误入“教知识点一学知识点一记知识点一考知识点一忘知识点”的歧途。“应试双基教学”致使“唯分数论”思想盛行，“分数是教师的命根”的看法根深蒂固。因此，持该观点者认为，双基教学和考试应完全独立，互不相干。 另一种观点：双基教学与考试相辅相成。 考试要求与教学要求的相互影响，使得双基教学得到加强。我国教学大纲强调双基教学，考试以大纲为准绳，教学自然侧重于双基教学，考试重点考“双基”。“双基教学与考试的结合似乎是必须的，因为大纲是教材编写的依据，是教学的依据，也是考试的依据。可见，双基教学和考试都必须遵循大纲的“双基”要求。另外，从公开发表的论文看，也可发现该观点有很多支持者，比如“数学双基教学决胜高考”“加强双基教学，全面提高教学质量——1994全省高中会考数学试卷分析与思考”“广东省2004年高考数学基础解答题情况分析与双基教学”“挖掘试卷资源，构建双基教学平台——讲评数学试卷的教学领悟点滴”等。 事实上，双基教学被异化并不是双基教学与考试结合的结果，而是人们受应试教学的影响，让双基教学去瞄准考试，发生偏差所致。双基教学与考试应是相辅相成的关系。双基教学是考试的主要内容可谓天经地义，兼具选拔、教育功能的考试可以促进双基教学的健康发展。当然，二者之间良好关系的维系在于如何正确看待考试的分数和考试的教育功能，如何正确认识双基教学，如何正确操作双基教学。 (三)双基教学与新课程 数学新课程实施已经八个年头，关于双基教学的讨论一直没有停止过，根本的关注点在于是坚持还是摈弃双基教学。 一种观点：新课程淡化了数学双基教学。 在新课程实施中，有两种倾向比较明显：一种是学生“自主”太多，另一种是多媒体使用偏多，冲淡了对“双基”的掌握。甚至有人怀疑双基教学还可不可以提?双基教学还要不要?教师还要不要组织习题训练?新课程中数学课堂的种种迹象表明，我们的数学课堂淡化了双基教学，对传统的数学教学特色采取的是完全否定的态度。换言之，数学新课程实践似乎淡化了双基教学。 另一种观点：新课程坚持并发展数学双基教学。 课标对双基教学的具体教学要求提出了4个层次：了解(认识)——能从具体事例中知道或举例说明对象的有关特征(或意义)，能根据对象的特征从具体情景中辨认出这一对象；理解——能描述对象的特征和由来，能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和联系；掌握——能在理解的基础上，把对象运用到新的情景中；灵活运用——能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法完成特定的数学任务。也就是说，数学新课程从理念上坚持了双基教学，发展了双基教学。 有专家认为，课标确实对双基教学的内涵进行了延伸，但是忽视强调双基教学在三维目标中的基础性，而新课程实施中弱化、忽视、虚化双基教学的现象也是不争的事实。但是，“淡化‘双基教学’是对‘双基教学’的误解”，我们应该坚持双基教学，必需加强理论认识，理解双基教学内涵和外延，找到教学实践中的有效操作，使理论与实践和谐统一。 三、对数学双基教学发展和争鸣的思考 回顾我国数学双基教学的形成和发展过程，反思针对数学双基教学的争鸣，启示如下：第一，双基教学是我国文化传统的延续和发展。双基教学重视基础知识的掌握和基本技能的训练，可以说是我国的文化传统的延续。第二，双基教学已成为我国数学教育的特色和优势。自1986年我国中学生参加国际中学生数学奥林匹克竞赛以来，15次获得令国际瞩目的佳绩。在1989年第二次国际教育成就测评(IAEP)中，我国学生在13岁组以80％的正确率名列第一名。这些成绩的背后，双基教学功不可没。跨国比较研究也表明，中国中小学生在计算任务、简单问题解决任务和过程受限的复杂问题解决任务上有明显优势。数学双基教学不仅是我国数学教育的传统和特色，也已成为国际数学教育研究者关注的热点，并被看作中国数学教育的经验。第三，双基教学的发展是与时俱进的。双基教学是实施素质教育的基本要求，我们要坚定不移地继承双基教学。但是数学基础知识和基本技能的内容是随着时代的发展而发生变化的，旧因此，对双基教学的认识应该与时俱进。双基教学的提出和发展本身就是一个与时俱进的过程。当前，课标修订稿中提出的“四基” (基础知识、基本技能、基本数学思想、基本数学经验)就是在新的时代背景下对双基教学内涵的一种发展。不难想象，随着社会的发展，对双基教学的要求将会有更新的内涵。第四，正确对待数学双基教学中出现的异化现象。从双基教学的发展过程看，双基教学的要求在不断变化，人们对双基教学的认识难免存在一定的滞后，所以，双基教学中出现的认识偏差是可以理解的。对于双基教学中出现的“题海战术”“应试双基”、要求拔高等异化现象，很大程度上是由于应试教育所致，而非双基教学自身的问题。我们只有摒弃应试教育，坚持素质教育才能消除双基教学中的异化现象。第五，研究数学双基教学的发展和争鸣对其他学科双基教学具有积极的借鉴意义。数学双基教学与其他学科双基教学存在许多共性，数学双基教学发展中遇到的问题，一定程度上折射出我国各学科双基教学的发展状况。
对数量积性质的新认识 【摘 要】：教学活动要遵循内在规律，只有当一切外在事实（知识）通过教师的主导作用，最后被主体（学生）认识之后，这外在东西才会为主体真正占有，这种转化只有在参与实践中才能体会并重新构建、形成知识体系。我们的教材中的好多知识表面上是孤立的，若我们的的教师在引领学生认知这些内容的同时，有“意识”的揭示这种“知识链”，内化我们学生的理解，让学生对知识的构建“水到渠成”！这不失为一种有效教学的好途径。【关键词】：数量积 向量 角度 距离作为新课程改革，高中数学教材的两个显著变化就是“向量和导数”的引入。其目的也很明确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性。但这种“工具性”，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。例如全日制普通高级中学教科书《数学•第二册（下B）》P33¬中，关于空间向量的数量积有这样三条性质：（1） ，（2） ，（3） 。作为“工具性”，性质（2）（3）比较明显，会立即得到充分的应用。可是对于性质（1），当时，在上新授课时我总认为：这条性质没有什么“本质上”的用处，有点像“房间里的摆设”——配角。但是随着时间的推移，笔者发现了她的奥妙之处：在后继的有关空间问题中的“三大角度”和“三大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途，并带来意想不到的“知识链”反应，极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵。本文便梳理和佐证这一认知，以飨读者。（一）性质的产生与内含已知向量 和轴l， 是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影 ，作点B在l上的射影 则 叫向量 在轴l上或在 方向上的正射影，简称射影。 可以证明得， （证明略，图如下所示。）此性质的内含理解有四点：①结果是一个数量（本身含正负号）；②其正负号由向量 所成角的范围决定；③加上绝对值 便是一条线段长度（这里 刚好组成一个直角三角形的两条直角边）；④可以推广为求一条线段在另一条直线上的正射影（此线段所在直线与已知直线的位置关系可以异面直线）。（二）性质的“知识链”对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题，我们的学生可以说是欣喜若狂啊，因为学生觉得这种方法好！可操作性强！（只要能建系，有坐标就行！）但在实际应用中，学生觉得这些结论不易理解，加上这些结论只能逐步形成和完善，靠死记硬背吧，今天记了明天又忘了！等到用时，仍是“生硬、呆板”，甚至张冠李戴。如何突破这一问题？我认为其根本原因是：在学生的认知结构里，这一性质未能如愿地形成“知识链”。那么，这一性质是怎样与相关问题产生“对接或联系”的呢？（1）它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”。1．1线线角 的求法的新认识：我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的角的范围为 ），即 ，我们能否加以重新认识这个公式呢？如图，，此时OB1可以看作是 与 方向上的单位向量 的数量积 ，这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理解为： （这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）。1．2线面角 的求法的新认识： （其中 为平面 的一个法向量），此结论重新可以理解为： ，此时OP又可以看作是 在 上的投影，即 与 方向上的单位向量 的数量积 ， ，故 （这里刚好满足三角函数中正弦的定义：对边比斜边）。1．3二面角的平面角 的求法的新认识： = （其中 是两二面角所在平面的各一个法向量）此结论重新可以理解为： （这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）。★三大角的统一理解： 、 、 、其从上述梳理完全可以看出其本质特征：这里的“空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和“自主化”，因为直角三角形中的三角函数定义，他们太熟悉了！即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”，那学习就会水到渠成！ （2）它又是空间三大距离（即点线距、点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系点”。空间中有七大距离（除球面上两点间的距离外）基本上可转化为点点距、点线距、点面距，而点线距和点面距又是重中之重！另外两异面直线间的距离，高考考纲中明确要求：对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份。教材按排中引进了向量法来解决距离问题，也给问题的解决带来新的活力！不用作出（或找出）所求的距离了。2．1点面距求法的新认识： （其中 为平面 的一个法向量），此结论重新可以理解为： ，即 在 上的投影，即 与 方向上的单位向量 的数量积 。2．2点线距求法的新认识：1）新认识之一：如图，若存在有一条与l相交的直线时，就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个法向量 ，则点P到l的距离 。2）新认识之二：若不存在有一条与l相交的直线时，我们可以先取l上的一个向量 ，再利用 来解，即： ，而数量OB可以理解为 在l上的向量 的投影，也即为： 。2．3异面直线间距离求法的新认识： 从这几年的高考《考纲说明》观察，我们不难发现，对异面直线间距离的考查本意不能太难，但若出现难一点的考题，命题者又能自圆其说的新情况。实际上，这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法：只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。那也就是说，在不要作出公垂线（也许学生作不出！）的情况下，也可以求出它们的距离的！那就是用向量法！如图所示：若直线l1与直线l2是两异面直线，求两异面直线的距离。 略解：在两直线上分别任取两点A、C、B、D，构造三个向量 ，记与两直线的公垂线共线的向量为 ，则由 ，得 ，则它们的距离就可以理解为： 在 上的投影的绝对值，即： 。 ★三大距离的统一理解: （点面距）、 （异面距）、 （点线距之一）、 且 （点线距之二）、其本质特征是：一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影，也即数量积此性质的直接应用。由上述的剖析过程不难再看出：空间中的三大角与三大基本距离的计算，都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中，体现在这个公式结构的“统一美”之中，把问题的本质揭示得“淋漓尽致”，而又不失自然！这给“立体几何” 中向量的工具性的体现，增色了几分美感与统一感！（三）性质的应用例1、（2005年山东省（理科）高考第20题）如图，已知长方体 直线 与平面 所成的角为 ， 垂直 于 ， 为 的中点（I）求异面直线 与 所成的角；（II）求平面 与平面 所成的二面角；（III）求点 到平面 的距离解：在长方体 中，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴建立如图示空间直角坐标系；由已知 可得 ， ，又 平面 ，从而 与平面 所成的角为 ，又 ， ， ，从而易得 （I） 因为 所以 ，易知异面直线 所成的角为 （II） 易知平面 的一个法向量 ，设 是平面 的一个法向量， 由 即 所以 即平面 与平面 所成的二面角的大小（锐角）为 （III）点 到平面 的距离，即 在平面 的法向量 上的投影的绝对值，所以距离 = 所以点 到平面 的距离为 例2、（2005年重庆（理科）高考第20题）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB= ，BB1=2，BC=1，∠BCC1= ，求：（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；（Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值 解：（I）以B为原点， 、 分别为y、z轴建立空间直角坐标系由于BC=1，BB1=2，AB= ，∠BCC1= ，在三棱柱ABC—A1B1C1中有B（0，0，0），A（0，0， ），B1（0，2，0），A1（0，2， ） ，设 ； ，则 得， （令y=1），故 =1（II）由已知有 故二面角A—EB1—A1的两个半平面的法向量为 。 。通过上述几个高考题的分析，我们不难看出：立体几何中的几何法的“难在找（或作）所求的角度或距离”，通过这个数量积的性质的转化（方法的转化与知识之间的转化），其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中及学生的细心地“计算”之中，从而也焕发了数量积这条性质的奥妙之处，也就更体现了“向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性。因为”程序化”的计算使我们的学生的“信心”倍增!同时让我们的学生也懂得了“知其所以然”，再也不用为记这一个“好结论”而烦恼了！参考文献：1、2005年普通高等学校招生全国统一考试大纲 （高等教育出版社）2、《浙江省高考命题解析——数学》 （浙江省高考命题咨询委员们编著）3、基础教育课程改革教师通识培训书系第二辑《课程改革发展》（中央民族大学出版社 周宏主编）
