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一、数学教育论文的基本结构标题（论文中心内容的概括，要求确切、恰当、鲜明、简短、精炼，一般不超过20字）作者名（单位名、省、市、邮政编码）摘要： [ 摘要的内容应全部源自论文本身，是论文内容的高度“浓缩”，使读者能迅速了解论文的主要内容。它要求准确、简明扼要（一般不超过300字）、独立完整、客观陈述（不能以第三者的口气进行介绍、评论，如“文章认为……”、“本文通过……”、“本文论述了……”、“本文探讨了……”、“本文首次提出了……”这些表述是不符合要求的）]关键词： （关键词是从论文中选取出来，用以表示全文主题内容信息的单词或术语，约3—8个）引言（开头语）1．选题的原因和重要性。2．对本课题已有研究情况的述评，如研究进展、对现有结论的评价、尚未解决的问题等。3．本课题研究的目的、方法、计划。4．本课题研究的意义和价值。几种常见的开头方法：内容范围开头法，即说明本文要论述的内容范围；问题开头法，即以数学问题或研究对象所存在的问题的方式开头；设问开头法，即以设问的形式把论文要论述的中心内容表达出来；目的开头法，即直接把论文要达到的目的告诉读者；背景开头法，即阐述所研究课题的历史背景；结论开头法，即直接阐述论文的的主要结论。正文1…………1……2……3……2…………………结论与讨论（结束语）结论部分起着总结全文、深化主题、揭示规律的作用，其内容大致为概述自己研究了什么问题，取得了什么结论，需要进一步研究的问题。下列情况可以省略结论部分：1．前言部分已对结论进行了概括；2．结论已不言自明；3．验证性的论文；4．商榷、反驳、补充性的论文。附录 附录是指因内容多，篇幅长而不便写入正文，但又必须向读者交代清楚的一些重要材料。因为正文中有些内容意犹未尽，列入正文中撰写又会冲淡主题，为此，在论文的最后部分以附录的方式进行弥补。附录的内容主要有座谈会提纲、问卷调查表格、测试问题、各类图表等。参考文献 参考文献是指作者在撰写论文的过程中所引用的图书资料，包括参阅或直接引用的材料、数据、论点、词句，而必须在论文中注明出处的内容。它包括各种著作、期刊、学术报告、学位论文、科技报告、专利、技术标准等。 一般地说，在论文中引用前人的观点、数据、材料时，应按先后顺序标明数码，依次列出所引用内容的出处。 引用文献为期刊，可仿下面的例子书写：[1]何小亚 数学应用题认知障碍的分析[J]上海教育科研，2001，6：41-[5] 何小亚 建构良好的数学认知结构的教学策略[J]数学教育学报 2002，11(1)： 引用文献为专著、论文集、学位论文、学术报告等，可仿下面的例子书写：[2]赵振威，黄熙宗，范叙保，等 中学数学解题研究[M] 江苏：江苏教育出版社， 96- 引用文献为报纸，可仿下例书写：[8]谢希德 创造学习的新思路[N] 人民日报，1998—12—25（10） 上述指的是一般小论文的格式。对于毕业论文，则要按照下面的格式。一、问题的提出（背景、问题、你要研究什么问题……）二、术语界定（术语界定就是去解释规定你论文中要用到的关键术语，如“新课标”是什么意思？、“数学建模”指的是什么？、“渗透”是什么意思……）三、研究的现状（综述同行（相关文献）的研究情况）（谁/什么文献/研究什么/什么结论/简单的评价。要以脚注的形式标明出处。文献综述最好按类别进行。 四、研究的意义（价值）及理论基础（你的理论主要是数学课程标准理论）五、研究方法（你的方法属文献研究、比较研究、定性研究）六、研究结果就是以下你的正文中属于你自己研究的结果。自己的东西有多少就写多少，不一定要面面俱到。别人的结果要放在研究现状里。否则读者很难区分哪一部分是别人的，哪一部分是你的。七、研究结论（根据“五、研究结果”得出的结论）八、研究展望(研究的不足/存在的问题/进一步值得研究的问题)二、数学教育论文的选题 1．学习研究数学教育文献 数学教育类期刊Educational Studies in Mathematics（荷兰）；Journal for Research in Mathematics Education（美）；Mathematics Teaching（英）；Mathematics Teacher（美）；《课程 教材 教法》（人民教育出版社）《数学教育学报》（天津师范大学等）《数学通报》（中国数学会，北京师范大学）；《数学教学》（华东师范大学）；《中学数学》（湖北大学）；《中学数学教学参考》（陕西师范大学）；《中学数学研究》（华南师范大学）。2．把握数学教育研究的新动向及时了解数学教育研究的新动向、新成果，积极参与教学改革，勇于实践，教学与科研相结合。3．研究课程标准和新教材九年义务教育阶段数学课程标准，高中数学课程标准，各种版本的新教材4．研究学生学习数学的过程和教学方法5．研究初等数学问题 对初等数学各个分支中的某些问题或某种方法进行专门的研究，比如某个定理的推广和改进，某种解题方法的提出与应用。 三、注意事项 1．结合自己的兴趣特长选择研究课题 2．注意文献资料的取舍围绕课题选择文献资料，选择的材料应具有典型性（代表性）、实践性、理论性和新颖性构思与布局在总体构思论文的框架结构时，要注意从整体上思考如何提出问题、分析问题和解决问题，将论文分成几个部分，每一部分又细分为几个小的部分，每一小部分有哪些要点。修改和定稿初稿完成后，应仔细推敲，反复修改，要敢于否定自己，切忌马虎走过场。注意创新论文应注意创新，最忌讳因循守旧，人家写什么，自己也写什么，跟在别人后面人云亦云。我们在撰写数学教育论文时，无论是题目、内容、论点、例证，还是解决问题的思路和方法都应该锐意创新，因为有无创新是一篇论文质量高底的重要标志。 6．不容易被刊用的稿件的特点（1）论述的经验、方法是众所周知的；（2）所列举的数据有为自己评功摆好的嫌疑；（3）选用的例证陈旧；（4）仅仅是例证的堆砌，缺少深刻的理论分析；（5）概念不清，逻辑推理出错；（6）结论的推导冗长而应用面狭窄；（7）课题过大，设计面过宽，讨论问题面面俱到，但不深入；（8）文章过长（超过5000字）。 附件四：研究课题举例一、一般性的研究课题中学数学课程标准的分析研究关于高考数学命题及答卷的研究数学开放题研究数学应用题研究优秀数学教师的教育思想及教学艺术评析数学教学改革实验研究数学差生的成因与教学对策学生数学能力评价研究数学教育中的素质教育内涵中学数学教学与学生创新意识培养中学数学教学与学生应用意识培养数学课程评价的理论与实践数学语言教学研究数学思想方法的教学研究中学数学作业处理运用数学方法论指导数学教学中学生数学阅读能力的调查研究中学生数学语言能力的调查研究数学学习方式的调查研究数学交流能力的调查研究二、 高中数学新课程教学方面的研究课题(一)在新课程理念下对原有内容的教学研究函数教学研究向量教学研究立体几何教学研究解析几何教学研究导数及其应用教学研究概率与统计的教学研究不等式教学研究三角恒等变换教学研究 （二）对新增内容的教学研究算法教学研究统计案例教学研究框图、推理与证明教学研究选修系列3教学研究选修系列4教学研究（三）双基与能力教学研究新课程理念下高中数学双基教学设计研究关于培养学生抽象、概括能力的研究关于合情推理与演绎推理在培养学生思维能力中的作用的研究数学新课程实施中学生自主学习的研究数学教学中培养学生自我监控能力的研究关于《标准》中课程内容与要求的科学性、可行性的研究数学文化对于促进学生数学学习的研究数学教学中渗透数学探究、研究性学习的研究 三、高中数学新课程的评价课题对学生数学学习过程评价的研究体现新课程理念的模块终结性评价工具与方法的开发对选修系列3、选修系列4读书报告的评价对数学探究、数学建模的评价高中新数学课程课堂教学评价高中数学教师专业化发展评价数学新课程理念下的高考命题研究数学教学中情感、态度、价值观的评价关于过程性评价与终结性评价有机结合的研究 四、高中数学新课程的信息技术研究课题信息技术的三重连环表示法（数字、图形与符号）对于数学教学的影响与作用网络环境对于数学新课程实施的促进作用（如运用网络资源，展现数学文化）信息技术与研究性学习的融合运用信息技术手段，改变学生学习方式（结合具体内容研究）信息技术对评价的形式与内容带来的影响以信息技术为主要手段的数学课程和教学资源库的建立信息技术对于学生数学能力（如图形直观能力、逻辑思维能力或运算能力等）的影响与促进运用信息技术手段，展示数学知识的发生和发展过程的案例研究信息技术与数学课程内容整合的案例开发 五、高中数学新课程的课程资源研究课题算法的背景与实例的收集与积累概率与统计的背景与实例的收集与积累导数及其应用的背景与实例的收集与积累关于高中数学选修系列3课程资源的开发与积累关于高中数学选修系列4课程资源的开发与积累现行高中数学新教材的比较研究数学新课程资源的拓广与应用网上数学资源的拓广与利用数学教学软件的研制与开发数学教学资源的传播与信息共享 六、高中数学新课程的研究性学习（数学建模、数学探究）如何指导学生选择数学探究、数学建模的课题数学探究、数学建模活动与课堂教学的关系研究研究性学习对培养学生能力的作用中学数学教材、教学研究的问题1．“好”的情境的标准是什么？如何开发？若干优秀情境交流。2．如何在一些重要的数学概念（如，函数）中，突显“数学化”过程。2．一些重要的数学思想在中学数学中的渗透（如随机的思想、公理化的思想）。3．统计与概率内容的系统设计及案例交流。4．课题学习的系统设计及案例交流。5．整理与复习的系统设计及案例交流。6．几何内容的系统设计及案例交流。7．发展学生推理能力的系统设计及案例交流。8．小学、初中、高中的衔接，知识之间的联系（哪些重要的联系？如何体现？）。9．信息技术对课程内容选择、呈现以及教师专业发展的影响。如何体现数学的文化价值，不只局限于数学史。教材如何体现教学内容的弹性（阅读材料、选学内容、开放问题、提供参考书籍）教材怎样才能更好地体现数学的特点及学生的认知特点。建立数学模型与数学的双基教学。14．如何处理教材“留白”和学生自学（阅读）之间的关系。教材“留白”与教师发展空间之间的关系。对评价的思考与实践。 附二：教学设计模板 课题名称：×××××××教学年级：×年级设计者：（姓名、单位、邮编、联系电话（手机或小灵通！）、E-mail等）一、教学内容分析1．教学主要内容2．教材编写特点本节课内容在单元中的地位，本节课教材编写的意图及特点等。3．教材内容的数学核心思想4．我的思考下面的学习目标、活动设计、组织与实施是如何落实对教学内容分析的理解，特别是核心数学思想的落实。说明：教学内容分析应该建立在教师良好的数学素养之上。可以在教学组内或学区中心集体研讨，或专家的指导下完成。需要注意的是，对教学内容的分析应体现在学习目标和教学过程的设计上。二、学生分析1．学生已有知识基础（包括知识技能，也包括方法）2．学生已有生活经验和学习该内容的经验 3．学生学习该内容可能的困难4．学生学习的兴趣、学习方式和学法分析5．我的思考：下面的学习目标、活动设计、组织与实施是如何落实对学生分析的理解。说明：学生分析应该通过对学生的实际调研作为科学依据，不能仅凭经验判断。学生分析是个性化的工作，不能由他人的结果简单代替自己的学生分析。已有知识基础的调研可以通过设计几个指向明确的小问题实现，对这方面的数据统计及分析是更为重要的，这种分析是教师设计和修正“学习目标”的重要依据。学生经验、学生学习困难、学生学习兴趣等的调研可以通过访谈实现，可以是抽样，也可以是有针对性的，如对于学困生做特别的访谈，可能会发现他们身上所具有的学习要素。 调研中可以将学生测验、访谈、小组观察等结合起来。三、学习目标（以学生为主语）1． 知识与技能2． 过程与方法（数学思考、解决问题）3． 情感态度价值观说明：1．教学内容分析和学生分析是学习目标制定的依据和前提。因此，如果对教学内容分析的要求越透彻，对学生分析的要求越科学和规范，学习目标的设计就越不是一件简单而迅速的工作。2．学习目标是为学生的“学”所设计，教师的“教”是为学生的学习目标的达成服务的。学习目标是个性化的，又是尊重数学学科发展需要和学生未来学习需要的。3．学习目标的制定应从以上几个方面进行思考，但具体形式不一定逐条对应。4．学习目标应该在下面的教学活动中得到实在的落实。特别是教学活动中设计意图应该阐释，活动及其组织与实施是如何为达成目标服务的。四、教学活动教学活动就是为学习目标的实现所设计的活动。包括1．活动内容2．活动的组织与实施说明：指教学活动开展的具体形式，包括学生学习方式—独立学习，还是合作学习等；教师活动的开展—提问或提出任务，组织合作学习，组织交流，讲授等；教学资源的准备等，如学具、教具、课件等。3．活动的设计意图说明：为教学活动和活动的组织实施进行辩护，辩护的出发点是分析它们是否促成了学生学习目标的达成。不是简单地主观臆断是为目标服务，应该有一定的理由—数学的、教学的。更不应该写成一些没有针对性，放之四海而皆准的“普遍真理”。4． 活动的时间分配预设说明：主要指对教学活动的时间分配预设，以便于自己检测教学设计上合理与否。可以参考下面的表格形式，也可以用文档的形式。活动内容活动的组织与实施（含教师活动和学生活动）设计意图时间分配五、教学效果评价目的是检测学习目标是否实现，为进行教学反思和改进教学提供依据。可以采取测验、访谈、课堂观察等多种方式评价教学效果。教学设计中应包括教学效果评价的方案。例如，对于知识技能目标达成度的评价，可以设计当堂课或课后能够做的1-2个小问题。以下几点供教师思考：（1） 情境的作用是什么？应该为学习目标服务，不是仅仅追求“热闹”。（2） 如何组织有效的教学活动，如小组活动的组织、信息技术的使用、练习的设计等，使得它们更为有效？（3） 学习目标是教学设计的核心，设计了就要努力执行和实现。所有的教学活动和教学设计都应该为促成“目标”的实现服务。（4） 教学是需要设计的，最后达到寓教于“无形”之中。（5） 设计应该考虑单元或更大的范围。 
在教学实践中，许多教师通过不断地学习和思考，往往会产生一些新的观点和想法，不吐不快；一旦有了新的观点和想法，又觉得它会对现实有一定的警示意义和指导意义，就总想把它表达出来，于是就有了观点型教学论文。观点型教学论文是直接阐明作者观点的，常常用这样的句子形式作为标题《要……》《……是……》《应该（必须）……》等。例如《低年级学生要特别注意学习习惯的养成》《教学设计应该简单扼要》。观点型教育教学论文的写作程式一般为：⒈根据现状提出观点观点总是通过对现状的分析提出来的，它是建立在事实的基础之上的，因此，可以先罗列一些现象，陈述一二个具体事实，然后从现象和事实中概括出自己的观点来。这里的现象和事实必须具有典型性，不是个别的偶然的；观点必须是旗帜鲜明的，不要含糊其辞，当然也不能绝对化或极端化。例如浙江有位教师最近通过尚在使用的浙教版小学语文教材和将要使用的根据新课标编写的人教版教材进行比较后，写了篇教学论文，提出了自己的观点：中高年级阅读教学正面临着全新的挑战。这个观点建立于两种教材的比较，由于马上要使用新的教材了，因而有很强的现实意义。有些人，为了让自己的观点吸引人，用耸人听闻的语言形式来表达，这是不可取的。⒉摆出依据分析观点光有观点是没有说服力的，只有通过具体的论证，才会使观点站立起来，才能为读者接受。这一部分就是论证观点。论证通常有理论依据或事实依据。理论依据就是用逻辑思维进行推理、演绎或概括，常常要引用一些名人的观点作为佐证；事实依据就是摆出看得见摸得着的事实。一般而言，依据越充分，就越有说服力。例如上文说的“中高年级阅读教学正面临着全新的挑战”这个观点，作者就是从如下几个方面来论证的： A课内分量明显增加；B课外阅读要求提高；C课文理解难度加大；文本内涵丰富多元；E知识分布松散无序。对这些依据，作者自然都作了详细分析，或举例说明，或用统计数字，或运用对比等。这一部分是此类文章的重点，它的篇幅应该占全文的三分之二以上。⒊得出结论指出对策经过详尽论证后，往往要有一段结论性的论述。这段陈述，可以是观点的重申，可以是主要观点的概括，可以是观点的延伸，也可以提出一些建设性的意见和希望，还可以提出一些新的思考。这段文字不必多，但必须集中、有力。观点型教学论文是表达个人思想观点，特别是全新的观点，往往会有一部分人接受不了，这并不重要，也不要考虑得太多，关键是要能自圆其说。此类论文的观点必须鲜明，如果怕有不同意见而不敢直说观点，故意表达得含含糊糊，那就写不成任何文章了，这也是观点型教学论文的大忌。 眼下，教育随笔的写作非常繁荣，应该说，这是一种很好的现象。随笔简短、随意、取材方便、形式活泼，写起来又不必占用大量的时间，十分适合处在第一线的教师写作。随笔的写法灵活多样，似乎很难用一个固定的程式来概括，但通过大量阅读时下教育类报刊的随笔，我们还是可以概括出一些基本思路。或者说，这种基本思路是符合一般的思维习惯的。随笔类教育教学论文的一般的写作程式为——⒈叙述事例引出想法教育随笔往往是由一个具体事例作为由头。对这个事例的要求是：真实、生动、有新意。真实，就是事例必须是生活当中确实存在的，是自己所见所闻甚至是经历过的，而不是随意捏造的，或者道听途说的；生动，是指事例有一定的故事性，而且比较有趣，或者有经典细节的，可读性较强，不是那种平淡无奇的老生常谈；有新意，指的是事例能折射出某种新的动向、新的意识，或者是一种新的现象的端倪。例如下面这个事例：这是一次区级优秀小学语文教师语文教学课堂展示活动。第三位上场执教的是一位年轻的女教师。她执教的课文是《董存瑞舍身炸暗堡》。因为是借班上课，上课伊始，老师为了调动情绪，活跃气氛，她问学生“：你们最崇拜的是谁?”学生纷纷举起了手，有的说崇拜球星罗纳尔多，有的说崇拜影星赵薇，有的说崇拜棋王聂卫平……待学生讲了一些崇拜对象后，老师反问：“你们猜，我最崇拜谁?”话音刚落，学生们几乎异口同声地说“：老师崇拜董存瑞。”一听这么整齐的回答，坐有近百位听课教师的多媒体教室里顿时爆发一阵哄笑。老师们为什么笑?笑学生回答得巧妙?笑学生回答得整齐?恐怕都不是。本来，老师也许是要说崇拜董存瑞的，可是，这一阵哄笑，使老师尴尬了，语塞了，她承认不行，不承认也不行。这个事例无疑是新颖而有新意的。事例的叙述应该简洁而不粗略，具体而不烦琐，不要用笼统的概括，也不要用细腻的描绘。事例是否具有典型性，在很大程度上决定了随笔的价值。因此，精心选择事例是写好随笔的第一步。引出事例后，可以说说自己的感受和想法。⒉旁征博引深入分析事例的内涵总是多元的，往往可以从多方面来思考，产生不同的想法，但在教学论文写作时，不能想到什么写什么，不能方方面面都写，而是要抓住感受最深的、有新意的、最有现实意义的一点来展开。在这一层写作中，要注意以下几点：A不要就事论事，只作简单的判断，说这个现象好或不好，简单的判断是容易的，但这是没有说服力的。B要透过现象看实质，作深层次分析，挖掘出潜伏在现象背后的根源。例如有一篇《教学的尊严在于思想》的随笔，在举出事例后分析：“有些教师太听话，他们规规矩矩照着课本教，他们不折不扣地按照参考书上说的办，他们把课本和教参作为绝对正确的圣旨，不敢越雷池一步。为什么会这样谨小慎微、唯唯诺诺呢?分析原因，大概有三:一是他们以为这样教就不会错，保险，因为课本和教参就是这样，如果说错了，那也不是我的责任；二是他们以为这样教，就能有效应对考试，考试的内容总是课内为主，课外是没底的，课内是抓得牢的；三是这样做省力，课本和教参里现成的，拿来就可用，不用动任何脑筋，而且谁也不会说”。这个分析，实事求是，很有说服力。C分析要旁征博引，要打开思路，从多方面简述，以增强文章的深度和广度。还是《教学的尊严在于思想》一文，在分析原因后，有这样一段引申和发挥 “四百年前法国著名思想家、哲学家帕斯卡尔曾经说过：‘人只不过是一棵芦苇，是自然界最脆弱的东西，但他是一棵能思考的芦苇。’因而他又说：‘人的全部尊严就在于思想。’帕斯卡尔一生体弱多病，只活了39岁，但在身后却为自己留下了高耸的纪念碑。他的《思想录》给无数人带来心灵的慰藉。帕斯卡尔后面的这一句，粗粗一听，似乎有点不可理解，细细一想，却颇有道理：一个没有思想的人，一个被别人的思想牢牢控制的人，一个有思想却无法表达的人，还会有多少尊严?那还不是奴才！这里，我想冒昧地引申一下：教师教学的全部尊严也在于思想。一个教师想在教学上获得尊重，就必须有自己的个性和思想。一个没有自己教学思想的人，是不可能赢得学生尊重的，也是不可能赢得同行的赞赏的。”这段旁征博引，不但突出了立意，而且使论述更富有力度，同时，也增加了文章的生动性。⒊照应开头表明态度以事例为由头的教育随笔教学论文，结尾处一般有这样三种写法：一是照应开头，对事例作结论性的判断；二是表达自己的愿望和要求；三是强调和重申自己的观点。《教学的尊严在于思想》一文的结尾是这样的：“思想是一种尊严。人最大的耻辱是不善于思考，最大的痛苦是思想被压制，有话不能说；人最光荣的就是自己的思想得到别人拥护。作为当代教师，不能只是传播思想，而是应该努力体现自己的思想，实践自己的理想。”这个结尾无疑是对自己的观点作了进一步的强调。在各种教育教学论文文体中，随笔型教学论文的写作是最无定式的。但随笔教学论文的几个特点是最为重要的：立意的新颖性，材料的生动性，语言的活泼性。 这种论文的标题，通常是用《……的尝试》（做法、应用、实践、探索），或者是一个具有操作性的句子。比如：《鼓励学生走生活作文之路的尝试》《“自学——质疑——释疑”的阅读教学的应用》《用经典范读引领学生进入文本》等。方法型教育教学论文的写作程式一般为：⒈阐述运用方法的依据为什么要运用这种方法?依据是什么?任何一种新颖方法的运用，不可能凭空捏造，总会有一定的背景。背景通常有两种：现实背景和理论背景。现实背景是指当前教学中的实际情况和客观存在；理论背景是指新的教学理论和思想。方法介绍之前，应该把它扼要地写清楚。写清楚背景，有助于增强论文的现实针对性，有助于增强方法的实用性。如果这种方法所涉及的概念比较冷僻，还有必要对概念作些诠释，以便让读者一读开头就能明白。⒉介绍方法的实施过程比“如每学期向学生推荐三篇时文美文”，如果换成“用时文美文陶冶学生情操”，那操作性就大大削弱了。介绍过程时，最好用小标题，分条列项。如果操作步骤较多，在小标题下还可以再分几个方面来说。总之，方法的介绍要有层次性，力求让读者读起来方便。⒊陈述方法实施的效果一种科学而新颖的方法实施后，往往会取得理想的效果。作为方法型的教学论文，有必要把效果陈述出来，以引起读者的关注。效果有显性和隐性两种，对显性的效果，能够用数据说明的，尽量用数据；对有些无法用数据说明的，可举例说明，选择一两个典型事例。陈述效果时，最忌讳的是光说些大而空的话，比如“提高了积极性，激发了兴趣”。用事实说话，让人心服口服，是这一部分的关键。当然，陈述的效果必须与实施的方法相关，不要把与该方法毫不相干的效果也统统扯上去。⒋陈述应注意的若干事项对于处于教学第一线的教师来说，最喜欢看的就是方法型的教师教学论文，因为它最实用，学了马上可以在自己的实践中运用；最容易写的也是方法型教学论文，因为它来自自己的实践，都是自己曾经做过的和想过的，写起来比较顺手。如何使方法型教学论文上升到一定的理论高度，如何使介绍的方法更有普遍的指导性，这是写作方法型教学论文的关键所在。
论文摘要：本文以递归的方法解决历史上著名的德•梅齐里克砝码问题，并加以推广阐述了一种特殊的进制数方式，对此问题作出了一个普遍解：任意给定一个自然数，能够以最少的个数的项保证其和为给定数而又能遍历1到此数间的任意整数。关键词：进制数，遍历，基底，状态值；一．问题介绍一位商人有一个40磅重的砝码，由于跌落在地而碎成4块，后来称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整磅数的重物，问这4块砝码碎片各是多少。摘自《100个著名初等数学问题》二．问题解决考虑这样一个用法码称重物的问题，实际上是通过在天平两端放不同砝码使各砝码值相加减得到目的值。用递归的方法能很好的解决：设前i块碎片的总质量为，由这块能够称出1～之间所有整磅数，那么第+1块碎片则为2+1，。它依次减去前块得到的各个磅数就能得到（+1）～（2+1），它依次加上前块得到的各个磅数就能得到（2+2）～（3+1）2+1—=+12+1+=3+12+1—（—1）=+22+1+（—1）=32+1—（—2）=+32+1+（—2）=3—1………………2+1—1=22+1+1=2+22+1自己当然能够称出来；所以由这+1块碎片能称出1～（3+1）所有的整质量。设第块碎片重为，则有：=2+1；=21+1；两式相减得=3；=1，故各碎片的磅数分别为1，3，9，满足和为40的要求。
