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本文从以下几方面探讨如何学好二次函数 一、理解二次函数的内涵及本质 二次函数 y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0 ， a 、 b 、 c 是常数）中含有两个变量 x 、 y ，我们只要先确定其中一个变量，就可利用解析式求出另一个变量，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图象就是由无数个这样的点构成的图形 二、熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质 1 、通过描点，观察 y=ax2 、 y=ax2 ＋ k 、 y=a （ x ＋ h ） 2 图象的形状及位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确定它是哪一种解析式 2 、理解图象的平移口诀“加上减下，加左减右” y=ax2 → y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ k “加上减下”是针对 k 而言的，“加左减右”是针对 h 而言的 总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般形式，应先化为顶点式再平移 3 、通过描点画图、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中反映出它的图象的基本特征； 4 、在熟悉函数图象的基础上，通过观察、分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、极值等性质；利用图象来判别二次函数的系数 a 、 b 、 c 、△以及由系数组成的代数式的符号等问题 三、要充分利用抛物线“顶点”的作用 1 、要能准确灵活地求出“顶点” 形如 y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ K →顶点（－ h，k ），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点 2 、理解顶点、对称轴、函数最值三者的关系 若顶点为（－ h ， k ），则对称轴为 x= － h ， y 最大（小） =k ；反之，若对称轴为 x=m ， y 最值 =n ，则顶点为（ m ， n ）；理解它们之间的关系，在分析、解决问题时，可达到举一反三的效果 3 、利用顶点画草图 在大多数情况下，我们只需要画出草图能帮助我们分析、解决问题就行了，这时可根据抛物线顶点，结合开口方向，画出抛物线的大致图象 四、理解掌握抛物线与坐标轴交点的求法 一般地，点的坐标由横坐标和纵坐标组成，我们在求抛物线与坐标轴的交点时，可优先确定其中一个坐标，再利用解析式求出另一个坐标 如果方程无实数根，则说明抛物线与 x 轴无交点 从以上求交点的过程可以看出，求交点的实质就是解方程，而且与方程的根的判别式联系起来，利用根的判别式判定抛物线与 x 轴的交点个数 五、灵活应用待定系数法求二次函数的解析式 用待定系数法求二次函数的解析式是我们求解析式时最常规有效的方法，求解析式时往往可选择多种方法，如能综合利用二次函数的图象与性质，灵活应用数形结合的思想，不仅可以简化计算，而且对进一步理解二次函数的本质及数与形的关系大有裨益 〖教学目标〗 ◆1，经历一元二次方程概念的发生过程 ◆2，理解一元二次方程的概念 ◆3，了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点:一元二次方程的概念，包括一般形式 ◆教学难点:例1第4题计算容易产生差错，是本节教学的难点 〖教学过程〗 合作学习 列出下列问题中关于未知数x的方程 ①正方形的面积为80，边长为x，则可列出方程 ②某村的粮食年产量，在两年内从60万千克增长到72万千克，问平均每年增长的百分率是多少 设年平均增长率为x，则可列出方程 引入新课 观察方程x2=80 和 两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程，能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根) 练一练:1，判断下列方程是否为一元二次方程:① 2(3x+2)=x2 ② +x+3=0 ③ ④ ⑤ 2，判断未知数的值，，是否是方程的根 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为的形式，我们把形如(，，为常数，)称为一元二次方程的一般形式，其中，，分别称为二次项，一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数 思考:为什么，，可以为零吗 三，范例讲解: 例1:把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项 ① ② ③ ④ 解:① 移项，整理，得 这个二次项系数为，一次项系数为，常数项为 ② 移项，整理，得 这个二次项系数为，一次项系数为，常数项为 ③ 移项，整理，得 这个二次项系数为，一次项系数为，常数项为 ④ 移项，整理，得 这个二次项系数为，一次项系数为，常数项为 我们在写一元二次方程的一般形式时，通常按未知数的系数从高到低排列，先写二次项，再写一次项，最后是常数项 四，练习巩固: 1，方程 ① ② ③ ④ 中是一元二次方程的为 (填序号) 2，关于的一元二次方程的一个解是，则 3，判断下列各方程后面的两个数是不是它的解 ① ( ) ② ( ) ③ (3 ， 1) ( ) ④ () ( ) 五，小结: 记住一元二次方程的一般形式，并会判断方程是否为一元二次方程; 化成一元二次方程的一般形式后，能说出二次项系数，一次项系数和常数项; 能判断的值是不是方程的解 作业:见作业本 1一元二次方程(2) 【教学目标】 ◆掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤 ◆会用因式分解法解一元二次方程 【教学重点与难点】 ◆教学重点:用因式分解法解一元二次方程 ◆教学难点:例3方程中含有无理系数，需将常数项2看成，才能分解因式，是本节教学的难点 【教学过程】 复习引入 1，将下列各式分解因式: 教师指出:把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解 2，你能利用因式分解解下列方程吗 请中等程度的学生上来板演，其余学生写在练习本上，教师巡视 之后教师指出:像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法(板书课题) 新课学习 归纳因式分解法解一元二次方程的步骤: 教师首先指出:当方程的一边为0，另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分解法求解方程比较方便然后归纳步骤:(板书) 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零; 将方程的左边分解因式; 根据若M·N=0，则M=0或N=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程 2，讲解例 (1)解下列一元二次方程: 教师在讲解中不仅要突出整体的思想:把x-2及3x-4和4x-3看成整体，还要突出化归的思想:通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解并且教师要认真板演，示范表述格式，强调两个一元一次方程之间的连结词要用"或"，而不能用且 (2)想一想:将第(1)，(2)，(3)题的解分别代人原方程的左，右两边，等式成立吗 (3)归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型: ①先变形成一般形式，再因式分解: ②移项后直接因式分解 在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式，然后再考虑化简后能否分解因式 讲解例 解方程 在本例中出现无理系数，要注意引导学生将将常数项2看成，另外对于方程中出现两个相等的根，教师要做好板书示范 3，补充例4 若一个数的平方等于这个数本身，你能求出这个数吗 首先让学生设出未知数，列出方程()，再让学生求解根据学生的求解情况强调:对于此类方程不能两边同时约去x，因为这里的x可以是 三，巩固练习: 课本第32页课内练习 四，体会和分享 能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗 先由学生自由发言，教师再投影演示: 能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点:方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积; 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤: (1)将方程的右边化为零; (2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积; (3)令每一个因式为零，得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 用分解因式法解一元二次方程的理论依据:两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于 4，用分解因式法解一元二次方程的注意点:必须将方程的右边化为零;方程两边不能同时除以含有未知数的代数式 5，数学思想:整体思想和化归思想 五课后作业 书本作业题 作业本 【板书设计】 屏幕 1一元二次方程(二) ——因式分解法解一元二次方程 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤: (1)将方程的右边化为零; (2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积; (3)令每一个因式为零，得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 数学思想:整体思想和化归思想 2一元二次方程的解法(1) 【教学目标】 ◆ 理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义 ◆ 会用开平方法解一元二次方程 ◆ 理解配方法 ◆ 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 【教学重点与难点】 ◆教学重点:开平方法 ◆教学难点:配方法有一个比较复杂的过程，无论从理解和运用上，对学生来说都有一定的难度 【教学手段】 用多媒体powerpoint和黑板的形式 【教学过程】 (一)引入新课 问题1: 在修建甬(宁波)金(金华)高速公路时，遇到高山，需要开掘隧道，为了预计这座山隧道的长度，工程人员测量了山的高度约AB=3千米，坡面的长度约AC=5千米请你估算开掘这座山的隧道约有多少千米 从甬金高速公路入手引出 型的一元二次方程，体现方程与几何图形性质的应用，对一元二次方程概念的理解，方程根的检验等起着复习巩固的作用 (二)由问题1可得 即 再利用因式分解法得出方程的根 如果把 变形为 ，进而可以理解为x是16的平方根，引出求这种方程的根可以用两边直接开方的方法进行，再得出开平方法的概念 通过让学生观察体会得出开平方法的两个特征:1，它适合于什么样的方程 (左边是一个关于x的完全平方，右边为一个非负常数即 )2:用什么样的方法来解 (方程的两边直接开平方的方法) 然后通过一系列，连续的例题来巩固用开平方法解一元二次方程，既突出本节课的重点，又比较自然的过渡到用配方法解一元二次方程 例1， (1 ) (2) (3) (4) 通过第4个例题的讲解学生已经了解到，如果左边不是一个直接的完全平方，那么通过观察，变形，把它配成完全平方，就可以用开平方法来解一元二次方程 (三)，问题2: 把方程变形:左边是一个含有x的式子的完全平方，而右边是一个非负数 1:先移项:含有未知数的项移到左边，含有常数的项移到右边 2:方程两边同加上一个合适的数 3:左边是一个完全平方，右边是一个非负常数 4:最后用开平方法来解 即可引出配方法的概念像这样，把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法 然后让学生回答:用配方法解一元二次方程关键在哪里 (就是如何在方程左，右两边同加上一个合适的数使左边配成一个完全平方) 为了弄清楚在方程的左右两边究竟应加上一个什么样的合适的数，可以通过专门的3个练习来得出即突破本节课的难点 (1) (2) (3) 最后让学生得出结论:1:加上一次项系数一半的平方; 2:前提条件:二次项系数为1 例2， (1) (2) 再次总结:形如 (二次项系数为1时)，可以用配方法来解一元二次方程 具体的步骤有: 第一:移项 第二:等式两边同加上一次项系数一半的平方 第三:再用开平方法来解方程 (四)提出挑战题:当二次项系数不是1时，怎么办 为下节课的教学打下了基础 例3， 课堂小结 让学生回答1:用开平方法，配方法解一元二次方程的概念2:用这两种方法解方程时，方程的特点3:用这两种方法解方程时的步骤4:让学生回答在解方程过程中应注意的事项 六，布置作业 2一元二次方程和解法(2) 【教学目标】 ◆ 巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤 ◆ 会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程 【教学重点与难点】 ◆教学重点:用配方法解二次项的系数的绝对值不是1的一元二次方程 ◆教学难点:当二次项系数为小数或分数时，用配方法解一元二次方程 【教学过程】 一复习旧知 用适当的方法解下列方程: 1，(x-2)2=3 2， x2+3x+1=0 请学生上来板演，老师点评归纳 二新课讲授 出示引例:用配方法解方程5x2=10x+1 提出问题:当一元二次方程的二次项系数的绝对值不是1时，怎样用配方法来解 经学生讨论后，指定一名学生(中等程度)回答 教师总结:对于二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程，只要将方程的两边都除以二次项系数，就转化为我们已经能解决的问题即用配方法解二次项系数是1的一元二次方程 讲解例题 例3:用配方法解下列一元二次方程 (1)2x2+4x-3=0 (2) 3x2-8x-3=0 评注(1)本例讲解可由上一课时的复习来引入，先给出方程x2+2x-1=0，让学生解答，并板书过程，同时解答方程3x2+6x-3=0，让学生作比较，学生容易发现，两个方程同解再把6x改成4x，并提出问题:方程3x2+4x-3=0又应该如何解 从而把问题化归 (2)本例中两个小题的解法是相通的，在讲解时，需要让学生明确配上去的值到底应该是多少，即解决的一半是多少这一问题，常用的解决方法是把该数乘以 教师总结:1:用配方法解系数为1的一元二次方程x2+px+q=0时，一般步骤为: (1)x2+px=-q(移); (2)x2+px+() 2=-q+() 2(配); (3)(x+)2= (化); (4)解得x=- (解) 2，当二次项系数不为1时，则在 "移"之前先要有个"除"，即两边同除以二次项系数，使二次项系数为 练习:用配方法解下列方程 2x2-7x+5=0 -3n=1 x2-x-=0 练习: 一个长方形牧场的面积为8100平方米，长比宽多19米这个牧场的周长是多少米 三:小结 本课时的重点用配方法解答各种一元二次方程 本课时的难点是对二次项系数的处理 四:布置作业 课本""作业本"及习题精选中对应的练习 2一元二次方程的解法(3) 【教学目标】 ◆知识教学点:理解一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程 ◆能力训练点:通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性 培养学生快速而准确的计算能力 ◆德育渗透点:通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美，简洁美，产生热爱数学的情感 【教学重点与难点】 ◆教学重点:求根公式的推导及用公式法解一元二次方程 ◆教学难点:对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解 【教学过程】 (一)复习引入 用配方法解下列方程 (1)x2-7x+11=0，(2)9x2=12x+ (通过两题练习，使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤，为本节课求根公式的推导做第一次铺垫) 用配方法解关于x的方程 x2+2px+q= 解:移项，得x2+2px=-q 配方，得x2+2px+p2=-q+p2 即(x+p)2=p2- (教师板书，学生回答，此题为求根公式的推导做第二次铺垫)用配方法推导出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 解:因为a≠0，所以方程的两边同除以a， ∵ a≠0， ∴4a2>0 当b2-4ac≥0时 从上面的结论可以发现: (1)一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的 (2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入上式中，可求得方程的两个根 的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法 (二)师生互动，应用新知 互动1 师:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式中，要求b2-4ac ≥0 ， 那么b2-4ac<0时会怎样呢 生:当b2-4ac<0时，没有意义，此时一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数解 明确: b2-4ac≥0是公式的一个重要组成部分，是求根公式成立的前提条件，这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件当b2-4ac0， ∴ x1=2，x2= 在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先"代"后"算"不要边代边算引导学生总结步骤 确定a，b，c的值算出b2-4ac的值代入求根公式求出方程的根 例2不是一般形式，所以在利用公式法之前应先化成一般形式，另外注意例2中的b2-4ac=0，方程有两个相同的实数根，应写成x1= 例3用公式法解一元二次方程: (1)X(x-1)=(X-2)2; (2) x2+x+1=0 其中第一题要先化简成一般形式，如系数是分数或小数，可以直接代公式，也可以先把系数化成整系数后再代公式，视实际清况而定第二题b2-4ac<0，方程无实数根 明确:运用公式法解一元二次方程的步骤:( 1) 把方程化为一般形式， 确定a，b，c的值;(2)求出b2-4ac的值;(3)若b2-4ac≥0，把a，b，c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根;若b2-4ac<0，此时方程无解 练习:P35课内练习熟悉公式法的步骤，训练快速准确的计算能力 互动3 请同学们根据学习体会，小结一下解一元二次方程的几种方法，通常你是如何选择的 请同学们交流，教师鼓励发言 明确: 解一元二次方程一般有以下四种方法:直接开平方法，因式分解法，配方法，求根公式法(1)当方程形如(x-a)2=b(b≥0)时，可用直接开平方法;(2) 当方程左边可以直接简单因式分解时，可选用因式分解法;(3) 配方法是一种重要的解法，尤其要熟悉配方法的整个过程，但解一般方程不选用这种解法;(4) 公式法是一元二次方程最重要的，最常用的解法，任何一元二次方程都可以选用这种解法，我们有时也称它为万能公式 练习:P35课内练习合理选择解法 (三)达标反馈，深化新知 (1)用公式法解方程4x2+12x+3=0，得到 (A) Ax= Bx= Cx= Dx= (2)关于x的一元二次方程x2-2x+2+K=0有两个实数根，则k的取值范围是 (3)不解方程，你能说出下列方程解的个数吗: x2-2x-2=0 4x2-4x+1=0 2x2-x+2=0， (四)总结及布置作业 引导学生从以下几个方面总结: ≥0) (2)利用公式法求一元二次方程的解的步骤:①化方程为一般式②确定a，b，c的值③算出b2-4ac的值④代入求根公式求根公式法与配方法都是通法，前者较之后者简单 求根公式是指在b2-4ac≥0对方程的解，如果b2-4ac<0时，则在实数范围内无实数解渗透一种分类的思想 3一元二次方程的应用(2) 【教学目标】 ◆ 继续探索一元二次方程的实际应用，进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值 ◆ 进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能 【教学重点与难点】 ◆教学重点:本节教学的重点是继续探索一元二次方程的应用 ◆教学难点:"合作学习"的问题教为复杂，计算量大，是本节的难点 【教学过程】 复习提问， (1)列方程解应用题的基本步骤 答: ①审题; ②找出题中的量，分清有哪些已知量，哪些未知量，哪些是要求的未知量; ③找出所涉及的基本数量关系; ④列方程; ⑤解方程; ⑥检验 新课讲解， 列一元儿次方程解应用题在初中阶段主要有三类问题:(1)变化率问题;(2)市场营销中单价，销量，销售额以及利润之间的相互关系问题;(3)根据图形中的线段长度，面积之间的相互关系建立方程的问题而我们今天要解决的就是根据图形中的线段长度，面积之间的相互关系建立方程的问题 如图2-4，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图2-5那样的无盖纸盒若纸盒的底面积是450cm，那么纸盒的高是多少 分析 设纸盒的高为x (cm)，那么裁去的四个小正方形的边长也是x(cm)，这样就可以用关于x的代数式表示纸盒底面长方形的长和宽，根据纸盒的底面积是450cm，就可以列出方程 解 设纸盒的高为x(cm)，则纸盒底面长方形的长和宽分别为(40-2x)cm，(25-2x)由题意，得 化简，整理，得 解这个方程，得 (不合题意，舍去) 答:纸盒的高为 接下来，同学们来做一下课内练习题 围绕长方形公园的栅栏长已知该公园的面积为4800㎡，求这个公园的长与宽 解: 设公园的一边长为x(m)，则另一边长为(140-x)m，由题意，得 化简，整理，得 解这个方程，得 答:略 合作学习: 一轮船一30km/h的速度由西向东航行(如图2-6)，在途中接到台风警报，台风中心正以20km/h的速度由南向北移动已知距台风中心200km的区域(包括边界)都属于受台风影响区当轮船接到台风警报时，测得BC=500km，BA= 如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区 你采用什么方法来判断 如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到报警开始，经过多少时间就进入台风影响区 建议: ①假设经过t时后，轮船和台风中心分别在cb位置; ②运用数形结合的方法寻找相等关系，并列出方程; ③通过相互交流，检查列方程，计算等过程是否正确; ④讨论:如果把航速改为10km/h，结果该怎样 提示:①几何画版给出演示; ②若从接到台风警报开始，经过t时，轮船到达C'点，台风中心到达B'点，那么船是否受到台风影响与什么有关 ③当B'C'符合什么条件时船受到台风影响 ④你能用关于t的代数式表示B'，C'两点之间的距离吗 ⑤你能用一元二次方程表示船开始受台风影响的条件吗 解答(略) 练习 练习:P40——课内练习2 补充练习:P40---作业题5 课堂小结: 体会如何根据图形中的线段长度，面积之间的相互关系建立方程的问题从中学到了什么 
说起数学思想，其实就是，就某一道题来说，有两种或以上的方法去解，也就是说，从两种或以上的角度去看问题，分析问题。现在就数学中四大思想作一篇论文。（数学四大思想：函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想与数形结合思想；） （一）函数与方程 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化等式或是不等式，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 “宇宙世界，充斥着等式和不等式。”换句话说，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。应用方程思想时特别需要重点考虑的大体就是列方程、解方程和研究方程的特性。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过题目中数量的关系，解决问题。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。要对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能发现由此及彼的联系。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 （二）等量代换 等量代换是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。我们要不断培养和训练自觉的转化意识，这有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。等量代换要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。 “解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。” 等量代换思想方法的特点是具有灵活性和多样性。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在分析和解决实际问题的过程中进行，在普通语言向数学语言的翻译中进行；消元法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等量代换思想，但是由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。 在数学操作中实施等量代换时，我们要尽量熟悉、简单、直观、标准，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，顺水推舟，经常渗透等量代换思想，可以提高解题的水平和能力。 （三）分类讨论 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其全面性，更使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 （四）数形结合 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的。 恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
“写什么？怎样写？”这是每个学写小论文的同学都会碰到的问题。一篇好论文的产生，对于它的作者来说是一次创造性的劳动。创造性的劳动对劳动者的要求是很高的。其创作的素材、水平，乃至创作的灵感……，绝不是轻易可以得到的，它们需要作者在自己的学习与生活实践中，去进行长期的积累与思考。从我校征集的论文来看，作者中有的是在平时十分注意对课本知识进行归纳整理、拓展延伸，学习中有许多意想不到的收获；有的是从课外阅读中得到收获与启发后，获得灵感、得以选题；……更有甚者是，有的作者在生活中发现问题注意观察、探究，并与自己的数学学习相联系，对观察、探究的结果进行思考、归纳、总结，升华为理论，写出了令人叫绝的好论文。综观获奖论文的小作者们，他们大多是数学学习的有心人。好论文的作者不仅要有较好的数学感悟，还要有良好的文学修养、综合素养。
