singlecar
引 论代数学是数学的一个基本分支，是其他数学分支的基础。它所处理和研究的数学对象是抽象的代数符号与概念，如整数有理数多项式理想等。计算机代数是以计算机为工具处理研究代数对象的一门新兴科学。它是符号计算的一个主要分支。代数算法的设计分析实现及应用构成了计算机代数的主要研究内容代数计算冗长繁复。常常让人望而生畏。传统的笔纸演算耗时费力又易出错，因而不可能用于大规模的计算。现代计算技术为大型符号计算提供了条件。于是如何将基本代数理论算法化精确化效率化，如何将有效的算法在计算机上有小弟实施，建立完整易用的软件系统，并用来处理形形色色的代数计算就是需要研究的问题。对这些问题的研究便形成了计算机代数这门科学。本综合报告的内容将就这门学科的多项式部分进行简单的研究与分析，Maple软件的介绍及在多项式方面的应用摘 要计算机代数的发展始于20世纪60年代初期。其标志是美国JSlagle在1961年用表处理语言Lisp所写的第一个自动积分程序SAINT。随后，几个基于Fortran和Lisp的符号计算系统，如PM，MATHLAB，ALPAK等，相继出现。这些早期的系统主要在美国的麻雀理工学院贝尔实验室和IBM公司研制开发的。现在，已有多种数学软件供我们使用，是我们可以应用计算机软件辅助进行数学包括高等代数的学习研究，而不只靠纸笔演算了。软件系统是计算机代数中的算法和应用的桥梁。先进的算法只有通过软件才能在应用中发挥其应有的效力和作用。利用日新月异的计算机硬件和技术所开发的高性能多功能简单易用的软件已逐渐是大量的数学研究教学赫英勇走向机械化自动化和计算机化。数学软件是指能在现代电子计算机上运行的程序和储存的数据，它们可以用来在计算机上表示和处理数学概念符号和知识，进行数学计算推理编程和绘图数学活动。数学软件是各种算法和策略在特定程序设计语言和计算机硬件上的具体实现。数学软件的种类繁多功能不一。知识处理软件：TEX/LATEX，MathML。数值计算软件：LAPACK，Matlab。符号计算软件：Maple，M绘图与视化软件：AutoCAD，JavaVMaple 求解多项式一多项式的介绍 多项式的定义定义1 数环R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ⑴ ，这里n是非负整数而 ， ， ，， 都是R中的数。 在多项式⑴中， 叫做零次项或常数项， 叫做一次项，一般， 叫做i次项， 叫做i次项的系数。定义2 若是数环R上两个一元多项式 f(x)和g(x)有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么f(x)和g(x)就说是相等f(x）=g(x)⑵ ， 定义3 叫做多项式⑵的最高次项。非负整数n叫做多项式⑵的次数。二多项式的运算根据以上定义，R上两个多项式f(x)，g(x)的和差积的系数都可以用f(x)和g(x)的系数的和差积表示出来。由于f(x)和g(x)的系数都属于数环R，所以它们的和差积也都属于R，所以R上两个多项式的和差积仍是R上的多项式。 加法交换律：f(x)+g(x)=g(x)+f(x) 加法结合律：(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x)) 乘法交换律：f(x)g(x)=g(x)f(x) 乘法结合律：(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x)) 乘法对加法的分配律：f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)三多项式的定理定理设f(x)和g(x)是数环R上两个多项式，并且f(x) 0，g(x) 那么（i） 当f(x)+g(x) 0时。 (f(x)+g(x)）) max( (f(x))， (g(x)))；（ii） （f(x)g(x)）= (f(x))+ (g(x))推论1：f(x)g(x)=0必要且只要f(x)和g(x)中至少有一个是零多项式。推论2：若是f(x)g(x)=f(x)h(x)，且f(x) 0，那么g(x)=h(x)四多项式的整除性定义 令f(x)和g(x)是数域F上多项式环F[x]的两个多项式。如果存在F[x]的多项式h(x)，使 g(x)=f(x)h(x)，我们就说，f(x)整除（能除尽）g(x)我们用符号f(x)|g(x)表示f(x)整除g(x)，用符号f(x)| g(x)表示f（x）不能整除g（x）。五多项式整除性的一些基本性质① 如果f(x)|g(x)，g(x)|h(x)，那么f(x)|h(x)② 如果h(x)|f(x)，h(x)|g(x)，那么h(x)|(f(x) g(x))③ 如果h(x)|f(x)，那么对于F[x]中任意多项式g(x)来说，h(x)|f(x)g(x)④ 如果h(x)| (x)，i=1，2，，t，那么对F[x]中任意 （x），i=1，2，，t，h(x)|( (x) (x) (x) (x) (x) (x))⑤ 零次多项式，也就是F中不等于零的数，整除任一多项式。⑥ 每一个多项式f(x)都能被cf(x)整除，这里c是F中任一不等于零的数。事实上，f(x)= (cf(x))⑦ 如果f(x)|g(x)，g(x)|f(x)，那么f(x)=cg(x)，这里c是F中一个不等于零的数。 Maple的介绍 （1）Maple概略Maple是主要的通用计算机代数系统。它都是流行的商业软件，并且能在多种操作系统下运行。Maple是一个用于解决各种数学问题的高效交互式容易使用的通用计算机代数系统它为科学工作者工程师教师和学生提供了一个可以用来处理代数表达式，进行符号与数值计算，用二维和三维图形和动画来视化数学对象的完整数学平台。Maple不仅有非常丰富的函数库，而且提供了高级数学编程语言。它可以在微软视窗MUnix/Linux等操作系统下运行。如今，Maple已被广泛用于数学密码学控制论物理学生物学商学经济学和工程技术，是众多高等院校科学和工程实验室的标准科研与教学工具，它的用户遍及全球。（2）Maple计算Maple中有3000多个用于符号与数值计算的函数，它们为解决各种数学问题提供了极大的灵活性。这些函数能进行的计算包括标准的数学运算如整数运算多项式运算积分微分求和求积解方程级数展开和极限计算等，以及其他专门数学领域中的特殊函数。（3）Maple界面Maple结合了强大的数学计算功能与先进直接的界面。计算结果图形和文字在同一份文档中显示，因而可以保存和注解计算步骤，之后还可以编辑修改并直接运行其中的Maple指令。Maple使用标准的数学记号，因此屏幕上显示的数学和我们在书本上看到的数学一样。这使得学生能够很容易地解释和检查所得的表达式。Maple还提供了几种使用鼠标键入和求值表达式的方式。内容敏感的选项单让用户不需学习编程语言的语法不必记忆指令名称就能使用Maple处理它所产生的数学对象。Maple还集成了NAG的数值计算程序库，并与数值计算软件Matlab有接口。（4）Maple编程除丰富的指令函数外，Maple还提供了一种高级程序设计语言。这种易学易用的语言能让用户通过添加自己的程序来扩充Maple的函数和功能。Maple 求解多项式例1：下面是一个 ，， 的整系数多项式F= + - - + +3 不难看出coef(F， )=-1，coef(F， )=0deg(F， )=1，deg(F， )=2，tdeg(F)=3，切F不是齐次的。设 Q= 为任一多项式。定义P与Q的和为P+Q:= ，其中（ ，， ），，（ ，， ）是（ ，， ），，（ ，， ），（ ，， ），，（ ，， ）中所有互不相同的n元组，而 有构造n元组 u=1，，t；v=1，，s，并令（ ，， ），，（ ，， ）为它们中所有互不相同者。定义P与Q的积为P•Q:= ，其中 例2：考虑多项式F= +1，G= 关于y，相应的R和Q可如下计算： 由此即得 简化得 符号计算系统的最基本功能是处理符号表达式，多项式则是最基本的符号表达式。从下面的例子中可以看到Maple可以用各种方式处理多项式三角表达式指数与对数等数学表达式。>factor(x^4+2*x^3-12*x^2+40*x-64); (x-2)( )>expand((x+1)^5); >simplify(exp(x*(log(y))); >simplify(sin(x)^2+cos(x)^2); 1>expand((x^2-a)^3*(x+b-1)); >expand(cos(4*x)+4*cos(2*x)+3，trig); 8 >combine(4*cos(x)^3，trig); cos(3x)+3cos(x)总结：随着计算机与数学的发展，计算机软件与数学研究已密不可分。无论是maple还是matlab等等，学习数学都将越来越简单化！参考文献：《Maple教程》 何青 王丽芳编著 科学出版社，2006《计算机代数》王东明 夏壁灿 李子明编著清华大学出版社， 2007《Maple经典》何青 王丽芳 袁荣译高等教育出版社， 2002 
当你清晨匆匆煮鸡蛋时，因为着急而将火开得大了点，你会发现在煮的过程中蛋壳出现了裂缝。为什么会这样呢?原来，在鸡蛋的一头有个空洞，鸡蛋被加热时，空洞里的空气就会膨胀。如果加热得太快，膨胀的空气来不及通过多孔的蛋壳跑出去，蛋壳就会开裂。为了防止出现这种情况，有经验的厨师会建议在煮蛋的时候要用冷水小火慢慢地煮。如果鸡蛋煮的时间过长，你还会发现在蛋黄的表面呈现灰绿色，这是因为化学反应产生了一种叫做硫化铁的化合物。鸡蛋含有铁元素和蛋白质，长时间高温加热会使蛋白质中含硫的氨基酸分解，产生硫化氢，蛋黄中的铁质与硫化氢发生反应，生成对人体无害的硫化铁。煮沸的水如果从锅里溢出来，接触到煤气灶上的火焰，蓝色的火苗就变成黄色。煤气火焰的变色一方面表明了水让火焰的温度降低了，另外也表明水中含有钠离子，黄色火焰是氯化钠中的钠原子被加热后出现的现象，这种现象在化学上被称为“焰色反应”。我们的饮用水中一般溶解了许多盐类化合物，其中的钙离子、镁离子等没有“焰色反应”现象出现。溢出水在灶台干后会出现一些白色的物质，也证明了水中有盐类化合物。我们制作面包、蛋糕或者松饼的时候，先要用发酵粉让面团发酵。为什么发酵粉会让面团变得松软呢?发酵粉的化学名称叫碳酸氢钠，它受热会分解，产生大量二氧化碳气体，使得面团膨胀起来，做出来的食品就会变得松软。碳酸氢钠还可以用在小型灭火器中用来扑灭火灾。在一些燃烧温度很高的火灾中，它被分解后产生二氧化碳气体，二氧化碳不会助燃，又比空气重，可覆盖在可燃物周围，因此可以用来阻断可燃物与空气的接触，火自然就熄灭了。不含酒精的软饮料也含有各种各样的化学物质，不同成分的化学物质可以使饮料有着不同的颜色和不同的口味。有些生产商在广告上声称自己生产的碳酸饮料不会增加人体对糖类的过分摄入，不会让人发胖，因为他们所使用的甜味剂是从蔗糖中提炼出来的。为什么蔗糖会让人发胖，而从它里面提炼出来的甜味剂却不会呢?如果人体摄入过量可吸收的糖分，就不能被人体及时转化成新陈代谢所需的能量，一部分糖就转变成脂肪储存在体内，食用了过量糖分的人就会发胖。而那种从蔗糖中提炼出来的甜味剂虽然可以让人感觉到甜味，却不能被人体消化吸收，而是被肠胃当作废物排泄到了体外，因此它就不会让人发胖。
当你清晨匆匆煮鸡蛋时，因为着急而将火开得大了点，你会发现在煮的过程中蛋壳出现了裂缝。为什么会这样呢?原来，在鸡蛋的一头有个空洞，鸡蛋被加热时，空洞里的空气就会膨胀。如果加热得太快，膨胀的空气来不及通过多孔的蛋壳跑出去，蛋壳就会开裂。为了防止出现这种情况，有经验的厨师会建议在煮蛋的时候要用冷水小火慢慢地煮。如果鸡蛋煮的时间过长，你还会发现在蛋黄的表面呈现灰绿色，这是因为化学反应产生了一种叫做硫化铁的化合物。鸡蛋含有铁元素和蛋白质，长时间高温加热会使蛋白质中含硫的氨基酸分解，产生硫化氢，蛋黄中的铁质与硫化氢发生反应，生成对人体无害的硫化铁。 煮沸的水如果从锅里溢出来，接触到煤气灶上的火焰，蓝色的火苗就变成黄色。煤气火焰的变色一方面表明了水让火焰的温度降低了，另外也表明水中含有钠离子，黄色火焰是氯化钠中的钠原子被加热后出现的现象，这种现象在化学上被称为“焰色反应”。我们的饮用水中一般溶解了许多盐类化合物，其中的钙离子、镁离子等没有“焰色反应”现象出现。溢出水在灶台干后会出现一些白色的物质，也证明了水中有盐类化合物。 我们制作面包、蛋糕或者松饼的时候，先要用发酵粉让面团发酵。为什么发酵粉会让面团变得松软呢?发酵粉的化学名称叫碳酸氢钠，它受热会分解，产生大量二氧化碳气体，使得面团膨胀起来，做出来的食品就会变得松软。碳酸氢钠还可以用在小型灭火器中用来扑灭火灾。在一些燃烧温度很高的火灾中，它被分解后产生二氧化碳气体，二氧化碳不会助燃，又比空气重，可覆盖在可燃物周围，因此可以用来阻断可燃物与空气的接触，火自然就熄灭了。 不含酒精的软饮料也含有各种各样的化学物质，不同成分的化学物质可以使饮料有着不同的颜色和不同的口味。有些生产商在广告上声称自己生产的碳酸饮料不会增加人体对糖类的过分摄入，不会让人发胖，因为他们所使用的甜味剂是从蔗糖中提炼出来的。为什么蔗糖会让人发胖，而从它里面提炼出来的甜味剂却不会呢?如果人体摄入过量可吸收的糖分，就不能被人体及时转化成新陈代谢所需的能量，一部分糖就转变成脂肪储存在体内，食用了过量糖分的人就会发胖。而那种从蔗糖中提炼出来的甜味剂虽然可以让人感觉到甜味，却不能被人体消化吸收，而是被肠胃当作废物排泄到了体外，因此它就不会让人发胖。
在国家教委制订的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）》中，第一次使用了“数学素养”一词，成为全国中学数学教师的热门话题之一。数学素养是人所必备的素养。人们在社会活动中，逐渐积累着对于数量关系和空间形式的认识，没有这种素养，人类就不会记数，不会排序，不会测量，不会分配，社会也就不可能发展，就没有现代社会的物质文明和精神文明。数学素养是民族素质的重要组成部分：思想道德、文化科学、劳动技术和身体心理这四项素质的各个方位及其成分、因素，都要通过量化才能得以充分展示，并且变得更有标准、可操作、可测量、可评价。数学图形是物质世界和人类文化相结合的一种完善形式。数学语言是全人类共同使用并可以传授给机器人的一种交流手段。数学是思维的体操，思维是数学灵魂，在运用数学思想、数学方法去思考和解决问题的过程中，培养着人的辩证唯物主义的世界观和严谨的科学态度。数学素养的结构是多方位的，基本的有下列四个：1．知识技能素养。2．逻辑思维素养。3．运用数学素养。4．唯物辩证素养。数学素养除了具有素质的一切特性以外，还具有以下特性：1．精确性。2．思想性。3．并发性。4．有用性。我国建国以来，民族素质和数学素养都得到了很大的提高。中国学生的数学素养也已为世人所公认。根据国际教育评估协会1992年的报告，在参加数学测试的21个国家或地区中，我国以总平均80分的成绩荣居榜首。此外，我国中学生在国际奥林匹克数学中连获冠军，有时竟囊括全部金牌，我们还拥有一批数学尖子。提高学生的数学素养，需从以下几方面努力：（一）面向全体学生。（二）突出基本的数学思想和数学方法。（三）抓住培养思维能力这一数学教学的核心。（四）注重运用数学。
