池晓倩
集合——数学大厦的根基L? d b/}，~lT/A7a*Q{uy%P"G Jj-_ R4/T8^!t 集合是什么，通俗地说它是一些元素组成的集体，是一些确定而又可分的“物”的集体。集合并不指具体的“物”，而是由物的集体所组成的新对象。20世纪以来的研究表明，不仅微积分的基础——实数理论奠定在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，而各种数学理论又都可以“嵌入”集合论之内。因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学分支的发展。现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念。r8MX}"u p0h_Wm'p%D集合论最重要的创建者是康托尔（Georg Cantor，1845—1918）。在19世纪人们很少怀疑微积分的基础应该建立在严密的实数理论上，而严密的实数理论可以由集合论推出。但是微积分本质上是一种“无限数学”。那么无限集合的本质是什么？它是否具备有限集合所具有的性质？v(N2i[7Wq从19世纪60年代起，法国数学家康托尔承担了这一工作，他清楚地看到以往数学基础中的问题，都与无穷集合有关。康托尔的集合论的建立，不仅是数学发展史上一座高耸的里程碑，甚至还是人类思维发展史上的一座里程碑。它标志着人类经过几千年的努力，终于基本上弄清了无限的性质，找到了制服无限“妖怪”的法宝。苏联著名数学家柯尔莫戈洛夫说：“康托尔的不朽功绩在于向无限冒险迈进。”德国数学大师伯特赞扬康托尔的理论是“数学思想最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动最美的表现之一”。$KgA，c"I1D4|&~(Z，vv'c然而事情并非总是顺利的。1900年左右，正当康托尔的思想逐渐被人接受，并成功地把集合论应用到了许多别的数学领域中去，大家认为数学的“绝对严格性”有了保证的时候，一系列完全没有想到的逻辑矛盾，在集合论的边缘被发现了。开始，人们并不直接称之为矛盾，而是只把它们看成数学中的奇特现象。1903年英国哲学家兼数学家罗素（Russell， BAW，1872—1970）提出了一个悖论，“一切不包含自身的集合所形成的集合是否包含自身？”答案如果说是，即包含自身，属于这个集合，那么它就不包含自身；如果说否，它不包含自身，那么它理应是这个集合的元素，即包含自身。F;Ax;_@可能有人看不懂罗素悖论，没关系，罗素本人就用通俗的“理发师悖论”作了比喻；理发师自称，他给所有自己不刮胡子的人刮胡子，但不给任何自己刮胡子的人刮胡子。试问理发师该不该给自己刮胡子？如果他从来不给自己刮胡子，就属于“自己不刮胡子的人”。根据他的自称，他就应该给自己刮胡子，但是，一旦他给自己刮胡子，他就成了“自己刮胡子的人”了。还是根据他的自称，他就不应该给自己刮胡子。所以不管理发师的胡子由谁来刮，都会产生矛盾。罗素悖论以其简单、明确震动了整个西方数学界和逻辑学界，逻辑学家费雷格收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术基础法则》第二卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难甚的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当这本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。”弗雷格对罗素悖论的迅速反应是惊恐地感到：“算术开始受难。”N o'J S MP数学史上第三次危机来临了，数学王国的居民们惶惶不安，因为数学家们一贯追求严密性，一旦发现他们自称绝对严密的数学的基础——集合论并不严密，竟然出现了“悖论”这种自相矛盾的结果，可以想像，他们是多么震惊。震惊之余，数学家们意识到，应当建立某种公理系统来对集合论作出必要的规定，以排除“罗素悖论”和其他有关的“悖论”。现在，各种成功地解决悖论的方案都对集合的“无限扩张”进行了限制，因此现在任何一种形式的集合论，实质上都包含一个“限制大小”的公理。 
集合论的诞生先驱 数学分析严格化的先驱波尔查诺（1781－1848）也是一位探索实无穷的先驱，他是第一个为了建立集合的明确理论而作出了积极努力的人。他明确谈到实在无穷集合的存在，强调两个集合等价的概念，也就是后来的一一对应的概念。他知道，无穷集合的一个部分或子集可以等价于其整体，他认为这个事实必须接受。例如0到5之间的实数通过公式y=12x/5可与0到12之间的实数构成一一对应，虽然后面的集合包含前面的集合。为此，他为无穷集合指定超限数，使不同的无穷集合，超限数不同。不过，后来康托尔指出，波尔查诺指定无穷集合的超限数的具体方法是错误的。另外，他还提出了一些集合的性质，并将他们视为悖论。因此，他关于无穷的研究哲学意义大于数学意义。应该说，他是康托尔集合论的先驱。问题出现 黎曼（1826－1866）是在1854年的就职论文《关于用三角级数表示函数的可能性》中首次提出“唯一性问题”的。大意是：如果函数f（x）在某个区间内除间断点外所有点上都能展开为收敛于函数值的三角级数，那么这样的三角级数是否是唯一的？但他没有给予回答。1870年海涅（1821－1881）证明：当f（x）连续，且它的三角级数展开式一致收敛时，展开式是唯一的。进一步的问题是：当f（x）具有无穷多个间断点时，唯一性能否成立？康托尔就是通过对唯一性问题的研究，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。奠定基础 早在1870年和1871年，康托尔两次在《数学杂志》上发表论文，证明了函数f（x）的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立。1872年他在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个定理的推广》的论文，把海涅的一致收敛的严酷条件推广到允许间断点是某种无穷的集合的情形。为了描述这种集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概念。这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。集合论诞生 1873年11月29日康托尔在给戴德金（1831－1916）的一封信中，终于把导致集合论产生的问题明确地提了出来：正整数的集合（n）与实数的集合（x）之间能否把它们一一对应起来。同年12月7日，康托尔写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的，也就是不能同正整数的“集体”一一对应起来。这个时期应该看成是集合论的诞生日。集合拓扑开始 1874年，康托尔发表了这个证明，不过论文题目换成另外一个题目“论所有实代数数集体的一个性质，”因为克洛内克（1823－1891）根本就反对这种论文，他认为这种论文根本没有内容，无的放矢。该文提出了“可数集”概念，并以一一对应为准则对无穷集合进行分类，证明了如下重要结果：（1）一切代数数是可数的；（2）任何有限线段上的实数是不可数的；（3）超越数是不可数的；（4）一切无穷集并非都是可数的，无穷集同有穷集一样也有数量（基数）上的区别。 1874年1月5日，康托尔给戴德金写信，提出下面的问题： 是否能把一块曲面（如包含边界在内的正方形）一意地映射到一条线（如包含端点在内的线段），使得面上每一点对应线上一点而且反过来线上每一点对应面上一点？ 1877年6月20日，他给戴德金写信，这次他告诉他的朋友这个问题答案是肯定的理由，虽然几年以来他都认为答案是否定的。信中说“我看到了它，但我简直不能相信它”。关于这一成果的论文1878年发表后，吸引人们研究度量空间维数的本质，很快出现一批论文。这批论文标志集合拓扑的开始。点集论体系建立 从1879年到1883年，康托尔写了六篇系列论文，论文总题目是“论无穷线形点流形”，其中前四篇同以前的论文类似，讨论了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些有趣的应用。第五篇论文后来以单行本出版，单行本的书名《一般集合论基础》。第六篇论文是第五篇的补充。《一般集合论基础》在数学上的主要成果是引进超穷数。该文从内容到叙述方式都同现代的朴素集合论基本一致，所以该书标志着点集论体系的建立。遭遇挫折 1884年，由于连续统假设长期得不到证明，再加上与克罗内克的尖锐对立，精神上屡遭打击，5月底，他支持不住了，第一次精神崩溃。他的精神沮丧，不能很好地集中研究集合论，从此深深地卷入神学、哲学及文学的争论而不能自拔。不过每当他恢复常态时，他的思想总变得超乎寻常的清晰，继续他的集合论的工作。康托尔的贡献 《对超穷集合论基础的贡献》是康托尔最后一部重要的数学著作。《贡献》分两部分，第一部分是全序集合的研究，于1895年5月在《数学年刊》上发表。第二部分于1897年5月在《数学年刊》上发表。《贡献》的发表标志集合论已从点集论过渡到抽象集合论。但是，由于它还不是公理化的，而且它的某些逻辑前提和某些证明方法如不给予适当的限制便会导出悖论，所以康托尔的集合论通常成为古典集合论或朴素集合论。出现悖论导致怀疑 不过，康托尔的集合论并不是完美无缺的，一方面，康托尔对“连续统假设”和“良序性定理”始终束手无策；另一方面，19和20世纪之交发现的布拉利－福蒂悖论、康托尔悖论和罗素悖论，使人们对集合论的可靠性产生了严重的怀疑。加之集合论的出现确实冲击了传统的观念，颠倒了许多前人的想法，很难为当时的数学家所接受，遭到了许多人的反对，其中反对的最激烈的是柏林学派的代表人物之一、构造主义者克罗内克。克罗内克认为，数学的对象必须是可构造出来的，不可用有限步骤构造出来的都是可疑的，不应作为数学的对象，他反对无理数和连续函数的理论，同样严厉批评和恶毒攻击康托尔的无穷集合和超限数理论不是数学而是神秘主义。他说康托尔的集合论空空洞洞毫无内容。集合论的悖论出现之后，他们开始认为集合论根本是一种病态，他们以不同的方式发展为经验主义、半经验主义、直觉主义、构造主义等学派，在基础大战中，构成反康托尔的阵营。得到肯定 康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞应该说首先在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出来。瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨（1859－1919）在他的综合报告中，明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用，这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学，而是真正对数学发展起作用的理论工具。在分组会上，法国数学家阿达玛（1865－1963），也报告康托尔对他的工作的重要作用。 随着时间的推移，人们逐渐认识到集合论的重要性。希尔伯特高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”，“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时，克洛内克的后继者布劳威尔（1881－1966）等人借此大做文章，希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。编辑本段集合论的发展成为系统的学科 1899年第一篇点集论的论文在《德国数学家联合会年报》上发表，这篇论文是德国数学家舍恩弗利斯（1853－1928）写的。他本人在其后还为德国《数学科学百科全书》中撰写有关条目。20世纪初他继续研究康托尔留下的问题，特别是维数不变性问题。大约同时，德国数学家豪斯道夫（1868－1942）对集合论进行一系列研究，特别是序型及序集理论。1914年出版《集合论大纲》更是集合论及点集拓扑学的经典著作，他的体系是后来研究的基础及出发点。从此集合论成为系统的学科 。确立地位 从非欧几何的产生开始的对数学无矛盾性（相对无矛盾性）的证明把整个数学解释为集合论，集合论成了数学无矛盾性的基础，集合论在数学中的基础理论地位就逐步确立起来。
